牛津大学数学院在其官网同步存放着各种数学课程的课件，详情参考其官网链接 .
本文以及可能会有的今后的一个系列，就是对上述内容阅读学习所做的笔记。 集合论和逻辑关系的另一种关联表达方式就是真值表。这种方式可以系统地对比所有情况。由于集合个数可能有变化，情景数目也会有对应的变化。两个集合的交集为例，由于元素可能会同时属于这两个集合，也可能只属于其中一个，又或者是都不输入与这两个集合，那就会导致有四种组合的情况出现。
下面的表格就是对$A\cap B,A\cup B,A^C, A\backslash B,A\Delta B$ ,最后一个$A\Delta B$的真值表不具有对称性,这是因为如果一个元素属于$A\Delta B$,就只能存在于A或者B当中,不能为二者所共有.
A
B
$A\cap B$
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
A
B
$A\cup B$
F
F
F
F
T
T
T
T
T
A
B
$A\backslash B$
F
F
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
A
B
$A\Delta B$
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
还可以利用这种方法来对分配律进行演示，分配律就是：
$A\cup (B\cap C) =(A\cup B)\cap (A\cup C)$
A
B
C
$B\cap C$ LHS
$A\cap B$ $A\cap C$ RHS
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
Y
N
N
N
Y
N
N
Y
N
N
N
Y
N
N
N
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
N
N
N
Y
Y
Y
Y
Y
N
Y
N
Y
Y
Y
Y
Y
Y
N
N
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
逻辑命题里面也有类似的真值表。比如下面就是对逻辑命题P和Q的$P\wedge Q$、$P\vee Q$、$\neg P$、$P\implies Q$的真值表。
P
Q
$P\wedge Q$
F
F
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
P
Q
$P\vee Q$
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
P
Q
$P\implies Q$
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
最后的$P\implies Q$的真值表可能需要熟悉一下。不难看出这个实际上和$(\neg A)\vee B$是一样的真值表，当且仅当$\neg P$和$Q$都是假的时候才为假。
$\neg(P\wedge (\neg Q))$
若要$P\wedge (\neg Q)$为真，则需要$P$和$\neg Q$都为真.若使$P\wedge (\neg Q)$为假,则只需要$P$和$\neg Q$当中的一个为假即可.也就是:
$\neg(P\wedge (\neg Q)) \iff (\neg P)\vee (\neg(\neg Q))\iff (\neg P)\vee Q$
上面演示的就是德摩根定律(De Morgan’s Laws),更多内容后面章节会有更详细介绍.然后也可以看到下面的真值表是等价的:也就是 $P\implies Q$ 以及 $\neg Q\implies \neg P$ .
P
Q
$P\implies Q$
T
T
T
T
F
F
T
T
T
F
F
T
P
Q
$\neg Q\implies \neg P$
T
T
T
T
F
F
T
T
T
F
F
T
命题 $\neg Q\implies \neg P$ 就是 命题 $P\implies Q$ 的换质位命题（contrapositive），这两个命题是等价的。