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<title>►参数回归模型 | 医学研究中的生存数据建模</title>
<meta name="author" content="Wang Zhen">
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<script src="libs/bs4_book-1.0.0/bs4_book.js"></script><script>
/* ========================================================================
* Bootstrap: transition.js v3.3.7
* http://getbootstrap.com/javascript/#transitions
* ========================================================================
* Copyright 2011-2016 Twitter, Inc.
* Licensed under MIT (https://github.com/twbs/bootstrap/blob/master/LICENSE)
* ======================================================================== */
+function ($) {
'use strict';
// CSS TRANSITION SUPPORT (Shoutout: http://www.modernizr.com/)
// ============================================================
function transitionEnd() {
var el = document.createElement('bootstrap')
var transEndEventNames = {
WebkitTransition : 'webkitTransitionEnd',
MozTransition : 'transitionend',
OTransition : 'oTransitionEnd otransitionend',
transition : 'transitionend'
}
for (var name in transEndEventNames) {
if (el.style[name] !== undefined) {
return { end: transEndEventNames[name] }
}
}
return false // explicit for ie8 ( ._.)
}
// http://blog.alexmaccaw.com/css-transitions
$.fn.emulateTransitionEnd = function (duration) {
var called = false
var $el = this
$(this).one('bsTransitionEnd', function () { called = true })
var callback = function () { if (!called) $($el).trigger($.support.transition.end) }
setTimeout(callback, duration)
return this
}
$(function () {
$.support.transition = transitionEnd()
if (!$.support.transition) return
$.event.special.bsTransitionEnd = {
bindType: $.support.transition.end,
delegateType: $.support.transition.end,
handle: function (e) {
if ($(e.target).is(this)) return e.handleObj.handler.apply(this, arguments)
}
}
})
}(jQuery);
</script><script>
/* ========================================================================
* Bootstrap: collapse.js v3.3.7
* http://getbootstrap.com/javascript/#collapse
* ========================================================================
* Copyright 2011-2016 Twitter, Inc.
* Licensed under MIT (https://github.com/twbs/bootstrap/blob/master/LICENSE)
* ======================================================================== */
/* jshint latedef: false */
+function ($) {
'use strict';
// COLLAPSE PUBLIC CLASS DEFINITION
// ================================
var Collapse = function (element, options) {
this.$element = $(element)
this.options = $.extend({}, Collapse.DEFAULTS, options)
this.$trigger = $('[data-toggle="collapse"][href="#' + element.id + '"],' +
'[data-toggle="collapse"][data-target="#' + element.id + '"]')
this.transitioning = null
if (this.options.parent) {
this.$parent = this.getParent()
} else {
this.addAriaAndCollapsedClass(this.$element, this.$trigger)
}
if (this.options.toggle) this.toggle()
}
Collapse.VERSION = '3.3.7'
Collapse.TRANSITION_DURATION = 350
Collapse.DEFAULTS = {
toggle: true
}
Collapse.prototype.dimension = function () {
var hasWidth = this.$element.hasClass('width')
return hasWidth ? 'width' : 'height'
}
Collapse.prototype.show = function () {
if (this.transitioning || this.$element.hasClass('in')) return
var activesData
var actives = this.$parent && this.$parent.children('.panel').children('.in, .collapsing')
if (actives && actives.length) {
activesData = actives.data('bs.collapse')
if (activesData && activesData.transitioning) return
}
var startEvent = $.Event('show.bs.collapse')
this.$element.trigger(startEvent)
if (startEvent.isDefaultPrevented()) return
if (actives && actives.length) {
Plugin.call(actives, 'hide')
activesData || actives.data('bs.collapse', null)
}
var dimension = this.dimension()
this.$element
.removeClass('collapse')
.addClass('collapsing')[dimension](0)
.attr('aria-expanded', true)
this.$trigger
.removeClass('collapsed')
.attr('aria-expanded', true)
this.transitioning = 1
var complete = function () {
this.$element
.removeClass('collapsing')
.addClass('collapse in')[dimension]('')
this.transitioning = 0
this.$element
.trigger('shown.bs.collapse')
}
if (!$.support.transition) return complete.call(this)
var scrollSize = $.camelCase(['scroll', dimension].join('-'))
this.$element
.one('bsTransitionEnd', $.proxy(complete, this))
.emulateTransitionEnd(Collapse.TRANSITION_DURATION)[dimension](this.$element[0][scrollSize])
}
Collapse.prototype.hide = function () {
if (this.transitioning || !this.$element.hasClass('in')) return
var startEvent = $.Event('hide.bs.collapse')
this.$element.trigger(startEvent)
if (startEvent.isDefaultPrevented()) return
var dimension = this.dimension()
this.$element[dimension](this.$element[dimension]())[0].offsetHeight
this.$element
.addClass('collapsing')
.removeClass('collapse in')
.attr('aria-expanded', false)
this.$trigger
.addClass('collapsed')
.attr('aria-expanded', false)
this.transitioning = 1
var complete = function () {
this.transitioning = 0
this.$element
.removeClass('collapsing')
.addClass('collapse')
.trigger('hidden.bs.collapse')
}
if (!$.support.transition) return complete.call(this)
this.$element
[dimension](0)
.one('bsTransitionEnd', $.proxy(complete, this))
.emulateTransitionEnd(Collapse.TRANSITION_DURATION)
}
Collapse.prototype.toggle = function () {
this[this.$element.hasClass('in') ? 'hide' : 'show']()
}
Collapse.prototype.getParent = function () {
return $(this.options.parent)
.find('[data-toggle="collapse"][data-parent="' + this.options.parent + '"]')
.each($.proxy(function (i, element) {
var $element = $(element)
this.addAriaAndCollapsedClass(getTargetFromTrigger($element), $element)
}, this))
.end()
}
Collapse.prototype.addAriaAndCollapsedClass = function ($element, $trigger) {
var isOpen = $element.hasClass('in')
$element.attr('aria-expanded', isOpen)
$trigger
.toggleClass('collapsed', !isOpen)
.attr('aria-expanded', isOpen)
}
function getTargetFromTrigger($trigger) {
var href
var target = $trigger.attr('data-target')
|| (href = $trigger.attr('href')) && href.replace(/.*(?=#[^\s]+$)/, '') // strip for ie7
return $(target)
}
// COLLAPSE PLUGIN DEFINITION
// ==========================
function Plugin(option) {
return this.each(function () {
var $this = $(this)
var data = $this.data('bs.collapse')
var options = $.extend({}, Collapse.DEFAULTS, $this.data(), typeof option == 'object' && option)
if (!data && options.toggle && /show|hide/.test(option)) options.toggle = false
if (!data) $this.data('bs.collapse', (data = new Collapse(this, options)))
if (typeof option == 'string') data[option]()
})
}
var old = $.fn.collapse
$.fn.collapse = Plugin
$.fn.collapse.Constructor = Collapse
// COLLAPSE NO CONFLICT
// ====================
$.fn.collapse.noConflict = function () {
$.fn.collapse = old
return this
}
// COLLAPSE DATA-API
// =================
$(document).on('click.bs.collapse.data-api', '[data-toggle="collapse"]', function (e) {
var $this = $(this)
if (!$this.attr('data-target')) e.preventDefault()
var $target = getTargetFromTrigger($this)
var data = $target.data('bs.collapse')
var option = data ? 'toggle' : $this.data()
Plugin.call($target, option)
})
}(jQuery);
</script><script>
window.initializeCodeFolding = function(show) {
// handlers for show-all and hide all
$("#rmd-show-all-code").click(function() {
$('div.r-code-collapse').each(function() {
$(this).collapse('show');
});
});
$("#rmd-hide-all-code").click(function() {
$('div.r-code-collapse').each(function() {
$(this).collapse('hide');
});
});
// index for unique code element ids
var currentIndex = 1;
// select all R code blocks
var rCodeBlocks = $('pre.sourceCode, pre.r, pre.python, pre.bash, pre.sql, pre.cpp, pre.stan, pre.js');
rCodeBlocks.each(function() {
// create a collapsable div to wrap the code in
var div = $('<div class="collapse r-code-collapse"></div>');
if (show)
div.addClass('in');
var id = 'rcode-643E0F36' + currentIndex++;
div.attr('id', id);
$(this).before(div);
$(this).detach().appendTo(div);
// add a show code button right above
var showCodeText = $('<span>' + (show ? 'Hide' : 'Code') + '</span>');
var showCodeButton = $('<button type="button" class="btn btn-default btn-xs code-folding-btn pull-right"></button>');
showCodeButton.append(showCodeText);
showCodeButton
.attr('data-toggle', 'collapse')
.attr('data-target', '#' + id)
.attr('aria-expanded', show)
.attr('aria-controls', id);
var buttonRow = $('<div class="row"></div>');
var buttonCol = $('<div class="col-md-12"></div>');
buttonCol.append(showCodeButton);
buttonRow.append(buttonCol);
div.before(buttonRow);
// update state of button on show/hide
div.on('hidden.bs.collapse', function () {
showCodeText.text('Code');
});
div.on('show.bs.collapse', function () {
showCodeText.text('Hide');
});
});
}
</script><script>
/* ========================================================================
* Bootstrap: dropdown.js v3.3.7
* http://getbootstrap.com/javascript/#dropdowns
* ========================================================================
* Copyright 2011-2016 Twitter, Inc.
* Licensed under MIT (https://github.com/twbs/bootstrap/blob/master/LICENSE)
* ======================================================================== */
+function ($) {
'use strict';
// DROPDOWN CLASS DEFINITION
// =========================
var backdrop = '.dropdown-backdrop'
var toggle = '[data-toggle="dropdown"]'
var Dropdown = function (element) {
$(element).on('click.bs.dropdown', this.toggle)
}
Dropdown.VERSION = '3.3.7'
function getParent($this) {
var selector = $this.attr('data-target')
if (!selector) {
selector = $this.attr('href')
selector = selector && /#[A-Za-z]/.test(selector) && selector.replace(/.*(?=#[^\s]*$)/, '') // strip for ie7
}
var $parent = selector && $(selector)
return $parent && $parent.length ? $parent : $this.parent()
}
function clearMenus(e) {
if (e && e.which === 3) return
$(backdrop).remove()
$(toggle).each(function () {
var $this = $(this)
var $parent = getParent($this)
var relatedTarget = { relatedTarget: this }
if (!$parent.hasClass('open')) return
if (e && e.type == 'click' && /input|textarea/i.test(e.target.tagName) && $.contains($parent[0], e.target)) return
$parent.trigger(e = $.Event('hide.bs.dropdown', relatedTarget))
if (e.isDefaultPrevented()) return
$this.attr('aria-expanded', 'false')
$parent.removeClass('open').trigger($.Event('hidden.bs.dropdown', relatedTarget))
})
}
Dropdown.prototype.toggle = function (e) {
var $this = $(this)
if ($this.is('.disabled, :disabled')) return
var $parent = getParent($this)
var isActive = $parent.hasClass('open')
clearMenus()
if (!isActive) {
if ('ontouchstart' in document.documentElement && !$parent.closest('.navbar-nav').length) {
// if mobile we use a backdrop because click events don't delegate
$(document.createElement('div'))
.addClass('dropdown-backdrop')
.insertAfter($(this))
.on('click', clearMenus)
}
var relatedTarget = { relatedTarget: this }
$parent.trigger(e = $.Event('show.bs.dropdown', relatedTarget))
if (e.isDefaultPrevented()) return
$this
.trigger('focus')
.attr('aria-expanded', 'true')
$parent
.toggleClass('open')
.trigger($.Event('shown.bs.dropdown', relatedTarget))
}
return false
}
Dropdown.prototype.keydown = function (e) {
if (!/(38|40|27|32)/.test(e.which) || /input|textarea/i.test(e.target.tagName)) return
var $this = $(this)
e.preventDefault()
e.stopPropagation()
if ($this.is('.disabled, :disabled')) return
var $parent = getParent($this)
var isActive = $parent.hasClass('open')
if (!isActive && e.which != 27 || isActive && e.which == 27) {
if (e.which == 27) $parent.find(toggle).trigger('focus')
return $this.trigger('click')
}
var desc = ' li:not(.disabled):visible a'
var $items = $parent.find('.dropdown-menu' + desc)
if (!$items.length) return
var index = $items.index(e.target)
if (e.which == 38 && index > 0) index-- // up
if (e.which == 40 && index < $items.length - 1) index++ // down
if (!~index) index = 0
$items.eq(index).trigger('focus')
}
// DROPDOWN PLUGIN DEFINITION
// ==========================
function Plugin(option) {
return this.each(function () {
var $this = $(this)
var data = $this.data('bs.dropdown')
if (!data) $this.data('bs.dropdown', (data = new Dropdown(this)))
if (typeof option == 'string') data[option].call($this)
})
}
var old = $.fn.dropdown
$.fn.dropdown = Plugin
$.fn.dropdown.Constructor = Dropdown
// DROPDOWN NO CONFLICT
// ====================
$.fn.dropdown.noConflict = function () {
$.fn.dropdown = old
return this
}
// APPLY TO STANDARD DROPDOWN ELEMENTS
// ===================================
$(document)
.on('click.bs.dropdown.data-api', clearMenus)
.on('click.bs.dropdown.data-api', '.dropdown form', function (e) { e.stopPropagation() })
.on('click.bs.dropdown.data-api', toggle, Dropdown.prototype.toggle)
.on('keydown.bs.dropdown.data-api', toggle, Dropdown.prototype.keydown)
.on('keydown.bs.dropdown.data-api', '.dropdown-menu', Dropdown.prototype.keydown)
}(jQuery);
</script><style type="text/css">
.code-folding-btn { margin-bottom: 4px; }
.row { display: flex; }
.collapse { display: none; }
.in { display:block }
.pull-right > .dropdown-menu {
right: 0;
left: auto;
}
.open > .dropdown-menu {
display: block;
}
.dropdown-menu {
position: absolute;
top: 100%;
left: 0;
z-index: 1000;
display: none;
float: left;
min-width: 160px;
padding: 5px 0;
margin: 2px 0 0;
font-size: 14px;
text-align: left;
list-style: none;
background-color: #fff;
-webkit-background-clip: padding-box;
background-clip: padding-box;
border: 1px solid #ccc;
border: 1px solid rgba(0,0,0,.15);
border-radius: 4px;
-webkit-box-shadow: 0 6px 12px rgba(0,0,0,.175);
box-shadow: 0 6px 12px rgba(0,0,0,.175);
}
</style>
<script>
$(document).ready(function () {
window.initializeCodeFolding("show" === "show");
});
</script><script>
document.write('<div class="btn-group pull-right" style="position: absolute; top: 20%; right: 2%; z-index: 200"><button type="button" class="btn btn-default btn-xs dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" aria-haspopup="true" aria-expanded="true" data-_extension-text-contrast=""><span>Code</span> <span class="caret"></span></button><ul class="dropdown-menu" style="min-width: 50px;"><li><a id="rmd-show-all-code" href="#">Show All Code</a></li><li><a id="rmd-hide-all-code" href="#">Hide All Code</a></li></ul></div>')
</script><script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/autocomplete.js/0.38.0/autocomplete.jquery.min.js" integrity="sha512-GU9ayf+66Xx2TmpxqJpliWbT5PiGYxpaG8rfnBEk1LL8l1KGkRShhngwdXK1UgqhAzWpZHSiYPc09/NwDQIGyg==" crossorigin="anonymous"></script><script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mark.js/8.11.1/mark.min.js" integrity="sha512-5CYOlHXGh6QpOFA/TeTylKLWfB3ftPsde7AnmhuitiTX4K5SqCLBeKro6sPS8ilsz1Q4NRx3v8Ko2IBiszzdww==" crossorigin="anonymous"></script><!-- CSS --><style type="text/css">
div.hanging-indent{margin-left: 1.5em; text-indent: -1.5em;}
</style>
<link rel="stylesheet" href="style.css">
</head>
<body data-spy="scroll" data-target="#toc">
<div class="container-fluid">
<div class="row">
<header class="col-sm-12 col-lg-3 sidebar sidebar-book"><a class="sr-only sr-only-focusable" href="#content">Skip to main content</a>
<div class="d-flex align-items-start justify-content-between">
<h1>
<a href="index.html" title="">医学研究中的生存数据建模</a>
</h1>
<button class="btn btn-outline-primary d-lg-none ml-2 mt-1" type="button" data-toggle="collapse" data-target="#main-nav" aria-expanded="true" aria-controls="main-nav"><i class="fas fa-bars"></i><span class="sr-only">Show table of contents</span></button>
</div>
<div id="main-nav" class="collapse-lg">
<form role="search">
<input id="search" class="form-control" type="search" placeholder="Search" aria-label="Search">
</form>
<nav aria-label="Table of contents"><h2>Table of contents</h2>
<ul class="book-toc list-unstyled">
<li><a class="" href="index.html">前言</a></li>
<li><a class="" href="%E4%BD%9C%E8%80%85%E4%BB%8B%E7%BB%8D.html">作者介绍</a></li>
<li><a class="" href="%E7%9B%AE%E5%BD%95.html">目录</a></li>
<li class="book-part">正文</li>
<li><a class="" href="chap1.html"><span class="header-section-number">1</span> 生存分析</a></li>
<li><a class="" href="chap2.html"><span class="header-section-number">2</span> 一些非参数程序</a></li>
<li><a class="" href="chap3.html"><span class="header-section-number">3</span> Cox 回归模型</a></li>
<li><a class="" href="cox-%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html">►Cox 回归模型</a></li>
<li><a class="" href="chap4.html"><span class="header-section-number">4</span> Cox 回归模型的模型检查</a></li>
<li><a class="" href="chap5.html"><span class="header-section-number">5</span> 参数回归模型</a></li>
<li><a class="active" href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html">►参数回归模型</a></li>
<li><a class="" href="chap6.html"><span class="header-section-number">6</span> 灵活的参数模型</a></li>
<li><a class="" href="chap7.html"><span class="header-section-number">7</span> 参数模型的模型检查</a></li>
<li><a class="" href="chap8.html"><span class="header-section-number">8</span> 时依变量</a></li>
<li><a class="" href="chap9.html"><span class="header-section-number">9</span> 区间删失生存数据</a></li>
<li><a class="" href="chap10.html"><span class="header-section-number">10</span> 脆弱模型</a></li>
<li><a class="" href="chap11.html"><span class="header-section-number">11</span> 非比例风险和机构的比较</a></li>
<li><a class="" href="chap12.html"><span class="header-section-number">12</span> 竞争风险</a></li>
<li><a class="" href="chap13.html"><span class="header-section-number">13</span> 多次事件和事件史分析</a></li>
<li><a class="" href="chap14.html"><span class="header-section-number">14</span> 相依删失</a></li>
<li><a class="" href="chap15.html"><span class="header-section-number">15</span> 生存研究的样本量要求</a></li>
<li><a class="" href="chap16.html"><span class="header-section-number">16</span> 贝叶斯生存分析</a></li>
<li><a class="" href="chap17.html"><span class="header-section-number">17</span> 使用 R 进行生存分析</a></li>
<li class="book-part">附录</li>
<li><a class="" href="A.html"><span class="header-section-number">A</span> 最大似然估计</a></li>
<li><a class="" href="B.html"><span class="header-section-number">B</span> 额外数据集</a></li>
<li class="book-part">—</li>
<li><a class="" href="bib.html">参考书目</a></li>
<li><a class="" href="exm.html">示例索引</a></li>
</ul>
<div class="book-extra">
</div>
</nav>
</div>
</header><main class="col-sm-12 col-md-9 col-lg-7" id="content"><div id="参数回归模型" class="section level1 unnumbered">
<h1>►参数回归模型<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h1>
<div id="sec5-10" class="section level2" number="5.10">
<h2>
<span class="header-section-number">5.10</span> 用于两组比较的加速失效时间模型<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-10"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h2>
<p>加速失效时间模型 (accelerated failure time model) 是一种通用的生存数据模型，其中假设在个体上测量的解释变量会在时间尺度上起乘性作用 (act multiplicatively)，从而影响个体在时间轴上前进的速率。这意味着模型可以从疾病进展速度的角度来解释，这种解释具有直观的吸引力。在 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#sec5-11">5.11</a> 节介绍模型的一般形式之前，先详细描述用于比较两组患者生存时间的加速失效时间模型。</p>
<p>假设患者随机接受两种疗法之一，标准疗法 S 或新疗法 N. 在加速失效时间模型下，接受新疗法的个体的生存时间视为接受标准疗法的个体的生存时间的倍数。因此，新疗法的效应是“加速”或“减慢”时间的流逝。在此假设下，接受新疗法的个体在时间 <span class="math inline">\(t\)</span> 后生存的概率就是接受标准疗法的个体在时间 <span class="math inline">\(t/\phi\)</span> 后生存的概率，其中 <span class="math inline">\(\phi\)</span> 是未知的正的常数。</p>
<p>现在令 <span class="math inline">\(S_S(t)\)</span> 和 <span class="math inline">\(S_N(t)\)</span> 是两个治疗组中个体的生存函数。那么，对于生存时间 <span class="math inline">\(t\)</span> 的任何值，加速失效时间模型指定</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_N(t)=S_S(t/\phi)\end{aligned}\]</span></p>
<p>对该模型的一种解释是，接受新疗法的个体的寿命是该个体在标准疗法下的寿命的 <span class="math inline">\(\phi\)</span> 倍。因此，参数 <span class="math inline">\(\phi\)</span> 反映了新疗法对生存时间的影响，称为时间比 (time ratio).</p>
<p>当关注的终点是患者的死亡时，与接受标准疗法的患者相比，<span class="math inline">\(ϕ<1\)</span> 对应于接受新疗法的患者死亡时间的加速。因此，从延长寿命的角度来看，标准疗法会更合适。另一方面，当终点是从某种疾病状态恢复时，当新疗法的效应是加快恢复时间时，会得到 <span class="math inline">\(\phi<1\)</span>。此时，新疗法将优于标准疗法。量 <span class="math inline">\(\phi^{-1}\)</span> 是时间比的倒数，是新疗法生存时间相对于标准疗法生存时间的加速或减速的因子，称为加速因子 (acceleration factor).</p>
<p>时间比或加速因子也可用新疗法和标准疗法的患者中位生存时间 <span class="math inline">\(t_N (50)\)</span> 和 <span class="math inline">\(t_S(50)\)</span> 来解释。这些值满足 <span class="math inline">\(S_N\{t_N(50)\}=S_S\{t_S(50)\}=0.5\)</span>。现在，在加速失效时间模型下，<span class="math inline">\(S_N\{t_N(50)\}=S_S\{t_N(50)/\phi\}\)</span>，因此可以得出 <span class="math inline">\(t_N (50) = \phi t_S(50)\)</span>。换句话说，在加速失效时间模型下，接受新疗法的患者的中位生存时间是接受标准疗法的患者的 <span class="math inline">\(\phi\)</span> 倍。事实上，同样的论证可用于生存时间分布的任何百分位数。这意味着接受新疗法的患者的生存时间分布的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数 <span class="math inline">\(t_N (p)\)</span> 满足 <span class="math inline">\(t_N (p) = \phi t_S(p)\)</span>，其中 <span class="math inline">\(t_S(p)\)</span> 是标准疗法的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数。该模型的这种解释对临床医生特别有吸引力。</p>
<p>根据式 <a href="chap1.html#eq:1-4">(1.4)</a> 中给出的生存函数、概率密度函数和风险函数之间的关系，两个治疗组中个体的密度和风险函数的关系为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}f_N(t)=\phi^{-1}f_S(t/\phi)\end{aligned}\]</span></p>
<p>以及</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_N(t)=\phi^{-1}h_S(t/\phi)\end{aligned}\]</span></p>
<p>现在，让 <span class="math inline">\(X\)</span> 是一个指示变量，对于接受标准疗法的个体，它的值为 0，而对于接受新疗法的个体，它的值为 1. 第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的风险函数可以表示为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-57">\[\begin{align}
h_i(t)=\phi^{-x_i}h_0(t/\phi^{x_i})
\tag{5.57}
\end{align}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(x_i\)</span> 是研究中第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的 <span class="math inline">\(X\)</span> 值。将 <span class="math inline">\(x_i=0\)</span> 代入此表达式，可以看出函数 <span class="math inline">\(h_0(t)\)</span> 是接受标准疗法的个体的风险函数。这再次被称为基线风险函数。接受新治疗个体的风险函数则为 <span class="math inline">\(\phi^{-1}h_0(t/\phi)\)</span>。</p>
<p>参数 <span class="math inline">\(\phi\)</span> 必须为非负，因此可以方便地设置 <span class="math inline">\(\phi = e^\alpha\)</span>。式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-57">(5.57)</a> 中的加速失效时间模型则变为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-58">\[\begin{align}
h_{{i}}(t)=e^{{-}\alpha x_{{i}}}h_{{0}}(t/e^{\alpha x_{{i}}})
\tag{5.58}
\end{align}\]</span></p>
<p>因此，新疗法中个体的风险函数现在为 <span class="math inline">\(e^{\large-\alpha}h_0(t/e^{\large\alpha})\)</span>。</p>
<div id="sec5-10-1" class="section level3" number="5.10.1">
<h3>
<span class="header-section-number">5.10.1</span> 与比例风险模型的比较<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-10-1"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h3>
<p>为了说明比例风险模型和加速失效时间模型之间的差异，再次假设要对两组（例如 Group I 和 Group II）中的个体的生存时间进行建模。进一步假设对于 Group I 中的个体，风险函数由下式给出</p>
<p><span class="math display">\[\left.h_0(t)=\left\{\begin{array}{l}0.5\text{ if }t\leqslant1\\1.0\text{ if }t>1\end{array}\right.\right.\]</span></p>
<p>其中时间以月为单位。这种类型的风险函数源自分段指数模型 (piecewise exponential model)，因为在每个时间段内的恒定风险意味着生存时间呈指数分布，但两个时间段的均值不同。该模型提供了一种表示可变 (variable) 风险函数的简单方法，并可能适用于存在短期风险恒定但在阈值时间后风险突然增加的情况。</p>
<p>现在让 <span class="math inline">\(h_P (t)\)</span> 和 <span class="math inline">\(h_A(t)\)</span> 分别表示比例风险模型和加速失效时间模型下 Group II 个体的风险函数。因此，我们可以写处两个风险函数</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_P(t)=\psi h_0(t)\end{aligned}\]</span></p>
<p>以及</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_A(t)=\phi^{-1}h_0(t/\phi)\end{aligned}\]</span></p>
<p>两种模型下 Group II 个体对应的生存函数分别为</p>
<p><span class="math display">\[S_P(t)=\left[S_0(t)\right]^\psi \]</span></p>
<p>以及</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_A(t)=S_0(t/\phi)\end{aligned}\]</span></p>
<p>使用 <span class="math inline">\(S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)\mathrm{d}u\}\)</span> 这一结果，基线生存函数为</p>
<p><span class="math display">\[\left.S_0(t)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-0.5t}&\text{if }t\leqslant1\\e^{-0.5-(t-1)}&\text{if }t>1\end{array}\right.\right.\]</span></p>
<p>由于如果 <span class="math inline">\(t\le 1\)</span> 则 <span class="math inline">\(S_0(t)\geqslant0.61\)</span>，因此中位数 <span class="math inline">\(t\)</span> 出现在生存函数的第二部分，即满足 <span class="math inline">\(\exp\{-0.5-(t-1)\}=0.5\)</span>。因此，Group I 患者的中位生存时间为 1.19 个月。</p>
<p>为了说明比例风险模型和加速失效时间模型下的风险函数之间的差异，请考虑 <span class="math inline">\(\psi=\phi^{-1}=2.0\)</span> 的特殊情况。在比例风险模型下，Group II 个体的中位生存时间为 0.69 个月，在加速失效时间模型下为 0.60 个月。两种模型下两组的风险函数如图 5.19 所示，相应的生存函数如图 5.20 所示。</p>
<details><summary><font color="#8B2232">图 5.19</font>
</summary><img src="figure/figure%205.19.png#center" style="width:80.0%"></details><br><details><summary><font color="#8B2232">图 5.20</font>
</summary><img src="figure/figure%205.20.png#center" style="width:80.0%"></details><p><br>
在加速失效时间模型中，Group II 个体的风险从 1.0 增加到 2.0 的时间比比例风险模型更早发生。在加速失效时间模型下，生存函数的“拐点”也发生得更早。</p>
</div>
<div id="sec5-10-2" class="section level3" number="5.10.2">
<h3>
<span class="header-section-number">5.10.2</span> 百分位-百分位图<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-10-2"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h3>
<p>百分位-百分位图 (percentile-percentile plot)，也称为分位数-分位数图 (quantile-quantile plot) 或 Q-Q 图，提供了一种用于评估两组生存数据的加速失效时间模型有效性的探索性方法。回想一下，分布的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数是值 <span class="math inline">\(t(p)\)</span>，<span class="math inline">\(p\)</span> 的取值区间为 <span class="math inline">\((0, 100)\)</span>。因此，第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数满足</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}t(p)&=S^{-1}\left(\frac{100-p}{100}\right)\end{aligned}\]</span></p>
<p>现在令 <span class="math inline">\(t_0(p)\)</span> 和 <span class="math inline">\(t_1(p)\)</span> 为根据两组生存数据的生存函数估计的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数。<span class="math inline">\(p\)</span> 的值可以取为 10, 20,…, 90，只要每组的观测数不是太少。因此，两组的百分位数可以表示为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}t_0(p)=S_0^{-1}\left(\frac{100-p}{100}\right),\quad t_1(p)=S_1^{-1}\left(\frac{100-p}{100}\right)\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(S_0(t)\)</span> 和 <span class="math inline">\(S_1(t)\)</span> 为两组的生存函数。对于任何给定的 <span class="math inline">\(p\)</span> 值，有</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-59">\[\begin{align}
S_1\{t_1(p)\}=S_0\{t_0(p)\}
\tag{5.59}
\end{align}\]</span></p>
<p>在加速失效时间模型下，<span class="math inline">\(S_1(t) = S_0(t/\phi)\)</span>，因此第二组的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数 <span class="math inline">\(t_1(p)\)</span> 满足</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_1\{t_1(p)\}=S_0\{t_1(p)/\phi\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>使用式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-59">(5.59)</a></p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_0\left\{t_0(p)\right\}=S_0\left\{t_1(p)/\phi\right\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>因此</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}t_0(p)=\phi^{-1}t_1(p)\end{aligned}\]</span></p>
<p>现在令 <span class="math inline">\(\hat{t}_0(p),\hat{t}_1(p)\)</span> 表示两组的百分位数估计，因此</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{t}_0(p)=\hat{S}_0^{-1}\left(\frac{100-p}{100}\right),\quad\hat{t}_1(p)=\hat{S}_1^{-1}\left(\frac{100-p}{100}\right)\end{aligned}\]</span></p>
<p>如果加速失效时间模型合适，对于适当选择的 <span class="math inline">\(p\)</span> 值，<span class="math inline">\(\hat{t}_0(p)\)</span> 关于 <span class="math inline">\(\hat{t}_1(p)\)</span> 的图形应给出一条穿过原点的直线。这条线的斜率将是加速因子 <span class="math inline">\(\phi^{−1}\)</span> 的估计。因此，该图可用于对加速失效时间模型的充分性 (adequacy) 进行探索性评估。从这个意义上说，<strong>它类似于对数累积风险图</strong>，后者在 <a href="chap4.html#sec4-4-1">4.4.1</a> 节中用于检查比例风险模型的有效性。</p>
<div class="rmdnote">
<div class="example">
<p><span id="exm:ex5-13" class="example"><strong>示例 5.13 (患乳腺癌妇女的预后) </strong></span><br></p>
<p>在本例中，最初在第 1 章<a href="chap1.html#exm:ex1-2">示例 1.2</a> 给出的阴性或阳性乳腺癌女性的生存时间数据用于说明百分位图。每组生存时间分布的百分位数可以通过各自生存函数的 Kaplan-Meier 估计来估计。这些数据列在表 5.8 中。</p>
<details><summary><font color="#8B2232">表 5.8</font>
</summary><img src="figure/table%205.8.png#center" style="width:80.0%"></details><p><br>
相对较少的死亡次数，以及这两组女性数据的删失模式，意味着并非所有的百分位数都可以估计。因此，百分位图将只有四对点，如图 5.21 所示。这些点落在一条相当直的线上，这表明加速失效时间模型并非不合适。然而，鉴于图中的点数有限，必须谨慎对待这一结论。</p>
<details><summary><font color="#8B2232">图 5.21</font>
</summary><img src="figure/figure%205.21.png#center" style="width:80.0%"></details><p><br>
图 5.21 中各点之间的直线的斜率大约为 3，这是加速因子的粗略估计。对此的解释是，与肿瘤呈阴性染色的妇女相比，肿瘤呈阳性染色的妇女的疾病进展加速了三倍。</p>
<p>等价地，时间比约为三分之一，因此肿瘤呈阳性染色的女性的寿命约为肿瘤染色呈阴性的女性的三分之一。我们还可以说，肿瘤呈阳性染色的女性的中位生存时间估计约为肿瘤呈阴性染色的女性的三分之一。</p>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div id="sec5-11" class="section level2" number="5.11">
<h2>
<span class="header-section-number">5.11</span> 一般加速失效时间模型<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-11"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h2>
<p>式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-58">(5.58)</a> 中的加速失效时间模型可以推广到研究中每个个体的 <span class="math inline">\(p\)</span> 个解释变量的值已被记录的情况。根据一般加速失效时间模型 (general accelerated failure time model)，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体在时刻 <span class="math inline">\(t\)</span> 的风险函数 <span class="math inline">\(h_i(t)\)</span> 为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-60">\[\begin{align}
h_i(t)=e^{-\eta_i}h_0(t/e^{\eta_i})
\tag{5.60}
\end{align}\]</span></p>
<p>其中</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\eta_i=\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}\end{aligned}\]</span></p>
<p>为模型的线性部分，其中 <span class="math inline">\(x_{ji}\)</span> 是第 <span class="math inline">\(i(i=1,2,\ldots,n)\)</span> 个个体第 <span class="math inline">\(j\)</span> 个解释变量 <span class="math inline">\(X_j(j=1,2,\ldots,p)\)</span> 的值。与比例风险模型一样，基线风险函数 <span class="math inline">\(h_0(t)\)</span> 是 <span class="math inline">\(p\)</span> 个解释变量值全为零的个体在时间 <span class="math inline">\(t\)</span> 的死亡风险。该基线风险是这些个体的生存时间的假定概率分布的风险函数。第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体对应的生存函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_i(t)=S_0\{t/\exp(\eta_i)\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(S_0(t)\)</span> 是基线生存函数。</p>
<p>参数加速失效时间模型在后文中统一采用模型的对数线性表示。这种表示表明，生存数据的加速失效时间模型与回归分析中使用的一般线性模型密切相关。此外，大多数计算机软件包都采用这种形式的模型来进行加速失效时间建模。</p>
<div id="sec5-11-2" class="section level3" number="5.11.1">
<h3>
<span class="header-section-number">5.11.1</span> 加速失效时间模型的对数线性形式<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-11-2"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h3>
<p>考虑随机变量 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 的对数线性模型，该模型与生存研究中第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的寿命相关，模型为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-61">\[\begin{align}
\log T_i=\mu+\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}+\sigma\epsilon_i
\tag{5.61}
\end{align}\]</span></p>
<p>在此模型中，<span class="math inline">\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p\)</span> 是 <span class="math inline">\(p\)</span> 个解释变量 <span class="math inline">\(X_1, X_2,...,X_p\)</span> 值的未知系数，其中第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的值为 <span class="math inline">\(x_{1i}, x_{2i},...,x_{pi}\)</span>，<span class="math inline">\(\mu,\sigma\)</span> 是另外两个参数，分别称为截距和尺度参数。量 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 是一个随机变量，用于对 <span class="math inline">\(\log T_i\)</span> 值与模型线性部分的偏差进行建模，并假设 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 服从特定的概率分布。在该模型的表述中，<span class="math inline">\(\alpha\)</span> 参数反映了每个解释变量对生存时间的效应；正值表明生存时间随解释变量值的增加而增加，反之亦然。</p>
<p>为了阐明模型的这种表示与式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-60">(5.60)</a> 中的表示之间的关系，考虑 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 的生存函数，其中 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 是与第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的生存时间相关的随机变量，使用式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-61">(5.61)</a>，这由下式给出</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-62">\[\begin{align}
S_i(t)=\mathrm{P}(T_i\geqslant t)=\mathrm{P}\left\{\exp(\mu+\boldsymbol{\alpha'x}_i+\sigma\epsilon_i)\geqslant t\right\}
\tag{5.62}
\end{align}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(\boldsymbol{\alpha}'\boldsymbol{x}_i=\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}\)</span>。</p>
<p>现在，根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-62">(5.62)</a>，<span class="math inline">\(S_i(t)\)</span> 可写为如下形式</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_i(t)&=\text{P}\left\{\exp(\mu+\sigma\epsilon_i)\geqslant t/\exp(\boldsymbol{\alpha'x}_i)\right\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>以及基线生存函数 <span class="math inline">\(S_0(t)\)</span>，即 <span class="math inline">\(\boldsymbol x=\boldsymbol 0\)</span> 的个体的生存函数，为</p>
<p><span class="math display">\[S_0(t)=\text{P }\{\exp(\mu+\sigma\epsilon_i)\geqslant t\}\]</span></p>
<p>那么有</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-63">\[\begin{align}
S_i(t)=S_0\{t/\exp(\boldsymbol{\alpha'x}_i)\}
\tag{5.63}
\end{align}\]</span></p>
<p>这是加速失效时间模型中第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体生存函数的一般形式。</p>
<p>使用第 1 章的式 <a href="chap1.html#eq:1-5">(1.5)</a> 可获得风险函数之间的对应关系。具体来说，对式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-63">(5.63)</a> 两边取对数，乘以 −1，并对 <span class="math inline">\(t\)</span> 进行微分，得到</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_i(t)=\exp(-\boldsymbol{\alpha'x}_i)h_0\{t/\exp(\boldsymbol{\alpha'x}_i)\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>这就是式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-60">(5.60)</a> 中的模型，其中 <span class="math inline">\(\eta_i=\boldsymbol{\alpha'x}_i\)</span>。</p>
<p>第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的生存时间分布的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数满足</p>
<p><span class="math display">\[S_i\{t_i(p)\}=\frac{100-p}{100}\]</span></p>
<p>并根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-63">(5.63)</a></p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_i\{t_i(p)\}&=S_0\{t_i(p)/(\exp(\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi})\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>用 <span class="math inline">\(t_0(p)\)</span> 表示基线生存函数 <span class="math inline">\(S_0(t)\)</span> 的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数，这样 <span class="math inline">\(t_0(p)\)</span> 就是所有解释变量都取值为零的个体的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数。</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}t_i(p)=\exp(\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi})t_0(p)\end{aligned}\]</span></p>
<p>这证实了系数 <span class="math inline">\(\alpha\)</span> 可以根据解释变量对生存时间分布百分位数的效应来解释。</p>
<p>在加速失效时间模型中，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的时间比为 <span class="math inline">\(\exp(\boldsymbol{\alpha'x}_i)\)</span>。根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-61">(5.61)</a>，单个解释变量 <span class="math inline">\(X_j(j = 1, 2,...,p)\)</span> 的值增加一个单位，会导致 <span class="math inline">\(\log T_i\)</span> 增加 <span class="math inline">\(\alpha_j\)</span>。这意味着生存时间增加了 <span class="math inline">\(\exp(\alpha_j)\)</span> 倍。因此，对数线性加速失效时间模型中解释变量系数的指数 (exponentiated coefficients) 可以直接解释为时间比。</p>
<p>模型的对数线性公式也可给出第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体生存函数的一般形式，即</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_i(t)=\mathrm{P}(T_i\geqslant t)=\mathrm{P}(\log T_i\geqslant\log t)\end{aligned}\]</span></p>
<p>根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-61">(5.61)</a></p>
<p><span class="math display" id="eq:5-64">\[\begin{align}
S_{i}(t) x&=\mathrm{P}(\mu+\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}+\sigma\epsilon_i\geqslant\log t)\\
&=\mathrm{P}\left(\epsilon_i\geqslant\frac{\log t-\mu-\alpha_1x_{1i}-\alpha_2x_{2i}-\cdots-\alpha_px_{pi}}\sigma\right)
\tag{5.64}
\end{align}\]</span></p>
<p>如果我们现在将式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-61">(5.61)</a> 的对数线性模型中的随机变量 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 的生存函数写为 <span class="math inline">\(S_{\epsilon_i} (\epsilon)\)</span>，则根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-64">(5.64)</a>，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的生存函数可以表示为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-65">\[\begin{align}
S_i(t)&=S_{\epsilon_i}\left(\frac{\log t-\mu-\alpha_1x_{1i}-\alpha_2x_{2i}-\cdots-\alpha_px_{pi}}{\sigma}\right)
\tag{5.65}
\end{align}\]</span></p>
<p>该结果显示了如何从 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 分布的生存函数中找到 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 的生存函数，反之亦然。结果还表明，可以从 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 的许多概率分布中导出加速失效时间模型，尽管有些分布比其他分布更容易处理。</p>
<p>下一节将描述一些特定的加速失效时间模型。</p>
</div>
</div>
<div id="sec5-12" class="section level2" number="5.12">
<h2>
<span class="header-section-number">5.12</span> 参数加速失效时间模型<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-12"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h2>
<p>加速失效时间模型的对数线性公式中 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 分布的特定选择（如 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#sec5-11">5.11</a> 节所述）将得到与第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体生存时间相关的随机变量的分布。然而，式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-61">(5.61)</a> 中模型的表示所得模型的参数化与 <a href="chap5.html#sec5-1">5.1</a> 节中给出的模型不同。基于生存时间的 Weibull, log-logistic 和 log-normal 分布的参数加速失效时间模型在实践中最常用，因此对这些模型进行详细描述。</p>
<div id="sec5-12-1" class="section level3" number="5.12.1">
<h3>
<span class="header-section-number">5.12.1</span> Weibull 加速失效时间模型<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-12-1"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h3>
<p>假设生存时间具有尺度参数 <span class="math inline">\(\lambda\)</span> 和形状参数 <span class="math inline">\(\gamma\)</span> 的 Weibull 分布，写作 <span class="math inline">\(W(\lambda, \gamma)\)</span>，因此基线风险函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_0(t)=\lambda\gamma t^{\boldsymbol{\gamma}-1}\end{aligned}\]</span></p>
<p>那么第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的风险函数由式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-60">(5.60)</a> 给出</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_i(t)=e^{-\eta_i}\lambda\gamma(e^{-\eta_i}t)^{\gamma-1}=(e^{-\eta_i})^\gamma\lambda\gamma t^{\gamma-1}\end{aligned}\]</span></p>
<p>使得该个体的生存时间服从 <span class="math inline">\(W(\lambda e^{-\gamma\eta_i},\gamma)\)</span> 分布。因此，<strong>Weibull 分布具有加速失效时间性</strong> (accelerated failure time property). 事实上，<strong>它是唯一具有比例风险和加速失效时间性的概率分布</strong>。</p>
<p>由于 Weibull 分布同时具有比例风险性和加速失效时间性，因此两模型的参数之间存在直接的对应关系。如果基线风险是 <span class="math inline">\(W(\lambda,\gamma)\)</span> 分布的风险函数，则在式 <a href="chap5.html#eq:5-41">(5.41)</a> 中的一般比例风险模型下的生存时间具有 <span class="math inline">\(W(\lambda\exp(\boldsymbol{\beta'x}_i),\gamma)\)</span> 的分布，而加速失效时间模型下的生存时间具有 <span class="math inline">\(W(\lambda\exp(-\gamma\boldsymbol{\alpha'x}_i),\gamma)\)</span> 的分布。因此，将加速失效时间模型线性部分的解释变量系数乘以 <span class="math inline">\(-\gamma\)</span> 时，我们得到了比例风险模型中相应的系数 <span class="math inline">\(\beta\)</span>。在对两组进行比较的特殊情况下，加速失效时间模型下 <span class="math inline">\(\phi=e^{\alpha}\)</span> 的时间比对应于比例风险模型中 <span class="math inline">\(\phi^{-\gamma}=e^{-\gamma\alpha}\)</span> 的风险比。</p>
<p>对于式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-61">(5.61)</a> 中模型的对数线性表示，如果 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 具有 Weibull 分布，则 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 实际上具有一种称为 Gumbel 分布的极值分布 (extreme value distribution)。这是一个不对称分布，均值为 0.5772（欧拉常数），方差为 <span class="math inline">\(\pi^2/6\)</span>。Gumbel 分布的生存函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_{\epsilon_i}(\epsilon)=\exp(-e^{\epsilon})\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(-\infty<\epsilon<\infty\)</span>。该分布的累计风险和风险函数分别为 <span class="math inline">\(H_{{\epsilon_i}}(\epsilon)=e^{{\epsilon}}\)</span> 和 <span class="math inline">\(h_{{\epsilon}_i}(\epsilon)=e^\epsilon\)</span>。</p>
<p>为了证明随机变量 <span class="math inline">\(T_i=\exp(\mu+\boldsymbol{\alpha'x}_i+\sigma\epsilon_i)\)</span> 具有 Weibull 分布，根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-65">(5.65)</a>，<span class="math inline">\(T_i\)</span> 的生存函数为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-66">\[\begin{align}
S_i(t)=\exp\left\{-\exp\left(\frac{\log t-\mu-\alpha_1x_{1i}-\alpha_2x_{2i}-\cdots-\alpha_px_{pi}}{\sigma}\right)\right\}
\tag{5.66}
\end{align}\]</span></p>
<p>这可以表示为如下形式</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_i(t)=\exp\left(-\lambda_it^{1/\sigma}\right)\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\lambda_i=\exp\left\{-(\mu+\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi})/\sigma\right\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>根据式 <a href="chap5.html#eq:5-5">(5.5)</a>，它是具有尺度参数 <span class="math inline">\(\lambda_i\)</span> 和形状参数 <span class="math inline">\(\sigma^{−1}\)</span> 的 Weibull 分布的生存函数。因此，式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-66">(5.66)</a> 是 <a href="chap5.html#sec5-6">5.6</a> 节中描述的 Weibull 模型生存函数的加速失效时间表示。</p>
<p>Weibull 加速失效时间模型的累积风险函数可以直接从式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-66">(5.66)</a> 中的生存函数中找到，并由下式给出</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}H_i(t)=-\log S_i(t)=\exp\left(\frac{\log t-\mu-\alpha_1x_{1i}-\alpha_2x_{2i}-\cdots-\alpha_px_{pi}}\sigma\right)\end{aligned}\]</span></p>
<p>也可以表示为 <span class="math inline">\(\lambda_it^{1/\sigma}\)</span>，相应的风险函数由下式给出</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-67">\[\begin{align}
h_i(t)&=\frac{1}{\sigma t}\exp\left(\frac{\log t-\mu-\alpha_1x_{1i}-\alpha_2x_{2i}-\cdots-\alpha_px_{pi}}{\sigma}\right)
\tag{5.67}
\end{align}\]</span></p>
<p>或 <span class="math inline">\(h_{{i}}(t)=\lambda_{{i}}\sigma^{-1}t^{\sigma^{-1}-1}\)</span></p>
<p>现在，我们将这种形式的模型与 Weibull 比例风险模型的形式进行协调。根据式 <a href="chap5.html#eq:5-43">(5.43)</a>，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的生存函数为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-68">\[\begin{align}
S_i(t)=\exp\left\{-\exp(\beta_1x_{1i}+\beta_2x_{2i}+\cdots+\beta_px_{pi})\lambda t^\gamma\right\}
\tag{5.68}
\end{align}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(\lambda\)</span> 和 <span class="math inline">\(\gamma\)</span> 是 Weibull 基线风险函数的参数。式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-68">(5.68)</a> 可以写成以下形式</p>
<p><span class="math display">\[\begin{align}
S_i(t)=\exp\left\{-\exp(\gamma\log t+\log\lambda+\boldsymbol{\beta'x}_i)\right\}
\end{align}\]</span></p>
<p>这表明式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-66">(5.66)</a> 和式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-68">(5.68)</a> 之间存在直接对应关系，即</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\lambda=\exp(-\mu/\sigma),\quad\gamma=\sigma^{-1},\quad\beta_j=-\alpha_j/\sigma\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(j=1,2,\ldots,p\)</span>。</p>
<p>在这种形式的模型中，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体生存时间分布的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数为 <span class="math inline">\(t_i(p)\)</span>，其中 <span class="math inline">\(S_i\{t_i(p)\}=1-(p/100)\)</span>，<span class="math inline">\(S_i(t)\)</span> 由式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-66">(5.66)</a> 给出。经直接的代数计算后得到，对该个体，有</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-69">\[\begin{align}
t_i(p)&=\exp\left[\sigma\log\left\{-\log\left(\frac{100-p}{100}\right)\right\}+\mu+\boldsymbol{\alpha}'\boldsymbol{x}_i\right]
\tag{5.69}
\end{align}\]</span></p>
</div>
<div id="sec5-12-2" class="section level3" number="5.12.2">
<h3>
<span class="header-section-number">5.12.2</span> log-logistic 加速失效时间模型<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-12-2"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h3>
<p>现在假设生存时间具有 log-logistic 分布。如果式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-60">(5.60)</a> 中的一般加速失效时间模型中的基线风险函数是从参数为 <span class="math inline">\(\theta,\kappa\)</span> 的 log-logistic 分布中导出的，则该函数由下式给出</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_0(t)=\frac{e^\theta\kappa t^{\kappa-1}}{1+e^\theta t^\kappa}\end{aligned}\]</span></p>
<p>在加速失效时间模型下，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体在时间 <span class="math inline">\(t\)</span> 的死亡风险为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_i(t)=e^{-\eta_i}h_0(e^{-\eta_i}t)\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(\eta_i=\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}\)</span> 是第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体 <span class="math inline">\(p\)</span> 个解释变量值的线性组合。因此</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_i(t)&=\frac{e^{-\eta_i}e^\theta\kappa(e^{-\eta_i}t)^{\kappa-1}}{1+e^\theta(e^{-\eta_i}t)^\kappa}\end{aligned}\]</span></p>
<p>即</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_i(t)=\frac{e^{\theta-\kappa\eta_i}\kappa t^{\kappa-1}}{1+e^{\theta-\kappa\eta_i}t^\kappa}\end{aligned}\]</span></p>
<p>那么，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的生存时间也具有 log-logistic 分布，参数为 <span class="math inline">\(\theta-\kappa\eta_i\)</span> 和 <span class="math inline">\(\kappa\)</span>。因此，log-logistic 分布也具有加速失效时间性。然而，这种分布不具有比例风险性。</p>
<p>式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-61">(5.61)</a> 中加速失效时间模型的对数线性形式也提供了 log-logistic 分布的表示。现在假设在这个公式中，<span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 服从均值为零、方差为 <span class="math inline">\(\pi^2/3\)</span> 的 logistic 分布，因此 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 的生存函数为</p>
<p><span class="math display">\[S_{\epsilon_i}(\epsilon)=\frac1{1+e^\epsilon}\]</span></p>
<p>使用式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-65">(5.65)</a>，<span class="math inline">\(T_i\)</span> 的生存函数为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-70">\[\begin{align}
S_i(t)&=\left\{1+\exp\left(\frac{\log t-\mu-\alpha_1x_{1i}-\alpha_2x_{2i}-\cdots-\alpha_px_{pi}}{\sigma}\right)\right\}^{-1}
\tag{5.70}
\end{align}\]</span></p>
<p>根据式 <a href="chap5.html#eq:5-9">(5.9)</a>，当 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 具有参数为 <span class="math inline">\(\theta-\kappa\eta_{{i}},\kappa\)</span> 的 logistic 分布时，其中 <span class="math inline">\(\eta_{i}=\alpha_{1}x_{1i}+\alpha_{2}x_{2i}+\cdots+\alpha_{p}x_{pi}\)</span>，<span class="math inline">\(T_i\)</span> 的生存函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_i(t)&=\frac{1}{1+e^{\theta-\kappa\eta_i}t^\kappa}\end{aligned}\]</span></p>
<p>通过将该式与式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-70">(5.70)</a> 中生存函数的表达式进行比较，我们发现参数 <span class="math inline">\(\theta\)</span> 和 <span class="math inline">\(\kappa\)</span> 可以用 <span class="math inline">\(\mu\)</span> 和 <span class="math inline">\(\sigma\)</span> 表示，即</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\theta=-\mu/\sigma,\quad\kappa=\sigma^{-1}\end{aligned}\]</span></p>
<p>这表明具有 log-logistic 生存时间的加速失效时间模型也可以用对数线性模型来表示。这是计算机软件通常采用的模型形式，因此基于计算机的参数估计通常是 <span class="math inline">\(\mu\)</span> 和 <span class="math inline">\(\sigma\)</span> 的估计，而不是 <span class="math inline">\(\theta\)</span> 和 <span class="math inline">\(\kappa\)</span> 的估计。</p>
<p>使用 <span class="math inline">\(H_i(t)=-\log S_i(t)\)</span> 得到累积风险函数，微分后得到风险函数</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-71">\[\begin{align}
h_i(t)&=\frac{1}{\sigma t}\left\{1+\exp\left[-\left(\frac{\log t-\mu-\alpha_1x_{1i}-\alpha_2x_{2i}-\cdots-\alpha_px_{pi}}{\sigma}\right)\right]\right\}^{-1}
\tag{5.71}
\end{align}\]</span></p>
<p>时间比或中位生存时间等量的估计可以直接从 <span class="math inline">\(\mu,\sigma\)</span> 和 <span class="math inline">\(\alpha\)</span> 的估计中获得。例如，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的时间比为 <span class="math inline">\(\exp(\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi})\)</span>，根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-70">(5.70)</a>，生存时间分布的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}t_i(p)&=\exp\left\{\sigma\log\left(\frac{p}{100-p}\right)+\mu+\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}\right\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>中位生存时间简单地为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-72">\[\begin{align}
t_i(50)&=\exp\left\{\mu+\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}\right\}
\tag{5.72}
\end{align}\]</span></p>
<p>因此可以直接从模型的参数估计中获得中位数的估计。</p>
</div>
<div id="log-normal-加速失效时间模型" class="section level3" number="5.12.3">
<h3>
<span class="header-section-number">5.12.3</span> log-normal 加速失效时间模型<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#log-normal-%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%A4%B1%E6%95%88%E6%97%B6%E9%97%B4%E6%A8%A1%E5%9E%8B"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h3>
<p>如果假设生存时间具有 log-normal 分布，则基线生存函数由下式给出</p>
<p><span class="math display">\[S_0(t)=1-\Phi\left(\frac{\log t-\mu}\sigma\right)\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(\mu\)</span> 和 <span class="math inline">\(\sigma\)</span> 是两个未知参数。在加速失效时间模型下，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的生存函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_i(t)=S_0(e^{-\eta_i}t)\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(\eta_i=\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}\)</span> 为第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体 <span class="math inline">\(p\)</span> 个解释变量值的线性组合。因此</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-73">\[\begin{align}
S_i(t)=1-\Phi\left(\frac{\log t-\eta_i-\mu}\sigma\right)
\tag{5.73}
\end{align}\]</span></p>
<p>这是个体 <span class="math inline">\(i\)</span> 的生存函数，其生存时间具有参数 <span class="math inline">\(\mu + \eta_i\)</span> 和 <span class="math inline">\(\sigma\)</span> 的 log-normal 分布。因此，log-normal 分布具有加速失效时间性。</p>
<p>在模型的对数线性公式中，如果 <span class="math inline">\(\log T_i\)</span> 服从正态分布，则与第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体生存时间相关的随机变量服从 log-normal 分布。因此，我们取式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-61">(5.61)</a> 中的 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 服从标准正态分布，因此 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 的生存函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_{\epsilon_i}(\epsilon)=1-\Phi(\epsilon)\end{aligned}\]</span></p>
<p>那么，式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-65">(5.65)</a> 可直接导出式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-73">(5.73)</a>，并且 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 分布的第 <span class="math inline">\(p\)</span> 个百分位可通过令 <span class="math inline">\(S_i\{t_i(p)\}\)</span> 等于 <span class="math inline">\(1 − (p/100)\)</span> 得出，从而得出</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}t_i(p)&=\exp\left\{\sigma\Phi^{-1}(p/100)+\mu+\alpha_1x_{1i}+\alpha_2x_{2i}+\cdots+\alpha_px_{pi}\right\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>特别地，<span class="math inline">\(t(50)=\operatorname{exp}(\mu+\boldsymbol{\alpha'x}_i)\)</span> 是第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的中位生存时间。</p>
<p>风险函数也可根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-73">(5.73)</a> 中的生存函数中得出，但它的形式比较复杂。</p>
</div>
</div>
<div id="sec5-13" class="section level2" number="5.13">
<h2>
<span class="header-section-number">5.13</span> 拟合并比较加速失效时间模型<a class="anchor" aria-label="anchor" href="#sec5-13"><i class="fas fa-link"></i></a>
</h2>
<p>使用最大似然法拟合加速失效时间模型。似然函数最好从模型的对数线性表示中导出，然后使用迭代方法获得估计值。<span class="math inline">\(n\)</span> 个观测生存时间 <span class="math inline">\(t_1,t_2,\ldots,t_n\)</span> 的似然由式 <a href="chap5.html#eq:5-14">(5.14)</a> 给出，即</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}L(\boldsymbol{\alpha},\mu,\sigma)&=\prod_{i=1}^n\left\{f_i(t_i)\right\}^{\delta_i}\left\{S_i(t_i)\right\}^{1\boldsymbol{-}\delta_i}\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(f_{i}(t_{i})\)</span> 和 <span class="math inline">\(S_{{i}}(t_{{i}})\)</span> 为第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体在 <span class="math inline">\(t_i\)</span> 处的密度函数和生存函数，以及 <span class="math inline">\(\delta_i\)</span> 是第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个观测的事件指示符，若第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个观测为事件则 <span class="math inline">\(\delta_i=1\)</span>，若为删失则为 0. 现在，根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-65">(5.65)</a></p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}S_i(t_i)=S_{\epsilon_i}(z_i)\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(z_i=(\log t_i-\mu-\alpha_1x_{1i}-\alpha_2x_{2i}-\cdots-\alpha_px_{pi})/\sigma\)</span>，将上式关于 <span class="math inline">\(t\)</span> 的微分给出</p>
<p><span class="math display">\[f_i(t_i)=\frac{1}{\sigma t_i}f_{\epsilon_i}(z_i)\]</span></p>
<p>那么，似然函数可以用 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 的生存函数和密度函数来表示</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}L(\boldsymbol{\alpha},\mu,\sigma)&=\prod_{i=1}^n(\sigma t_i)^{-\delta_i}\left\{f_{\epsilon_i}\left(z_i\right)\right\}^{\delta_i}\left\{S_{\epsilon_i}\left(z_i\right)\right\}^{1-\delta_i}\end{aligned}\]</span></p>
<p>那么对数似然为</p>
<p><span class="math display" id="eq:5-74">\[\begin{align}
\log L(\boldsymbol{\alpha},\mu,\sigma)=\sum_{i=1}^n\left\{-\delta_i\log\sigma-\delta_i\log t_i+\delta_i\log f_{\epsilon_i}(z_i)+(1-\delta_i)\log S_{\epsilon_i}(z_i)\right\}
\tag{5.74}
\end{align}\]</span></p>
<p><span class="math inline">\(p + 2\)</span> 个未知参数 <span class="math inline">\(\mu,\sigma\)</span> 和 <span class="math inline">\(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p\)</span> 的最大似然估计是通过使用 <a href="chap3.html#sec3-3-3">3.3.3</a> 节中描述的 Newton-Raphson 程序最大化该函数来找到的。</p>
<p>请注意，式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-74">(5.74)</a> 中对数似然函数的表达式包含项 <span class="math inline">\(-\sum_{i=1}^n\delta_i\log t_i\)</span> ，不涉及任何未知参数。因此，该项可以从对数似然函数中省略，如 <a href="chap5.html#sec5-6-1">5.6.1</a> 节中 Weibull 比例风险模型中所述。事实上，大多数计算机软件给出的用于加速失效时间建模的对数似然值不包括 <span class="math inline">\(-\sum_{i=1}^n\delta_i\log t_i\)</span> 的值。</p>
<p>拟合模型后，可以计算统计量 <span class="math inline">\(-2\operatorname{log}\hat{L}\)</span> 的值，并将其用于嵌套模型之间的比较，就像之前在比例风险模型中做的一样。具体来说，为了比较两个嵌套模型，计算两个模型的统计量 <span class="math inline">\(-2\operatorname{log}\hat{L}\)</span> 值之差，并与卡方分布的百分位点进行比较，其自由度等于模型线性部分中包含的 <span class="math inline">\(\alpha\)</span> 参数的数量。</p>
<p>一旦确定了合适的模型，就可以获得并绘制生存函数和风险函数的估计。拟合的模型可以根据解释变量影响的时间比或加速因子的估计，或根据生存时间分布的中位数和其他百分位数来解释。</p>
<div class="rmdnote">
<div class="example">
<p><span id="exm:ex5-14" class="example"><strong>示例 5.14 (患乳腺癌妇女的预后) </strong></span><br></p>
<p>在此示例中，为患乳腺癌妇女生存时间数据拟合加速失效时间模型。首先考虑 Weibull 加速失效时间模型。与第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个女性生存时间 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 相关的随机变量的对数线性模型如下：</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\log T_i=\mu+\alpha x_i+\sigma\epsilon_i\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 具有 Gumbel 分布，<span class="math inline">\(\mu,\sigma\)</span> 和 <span class="math inline">\(\alpha\)</span> 是未知参数，<span class="math inline">\(x_i\)</span> 是与染色相关的解释变量 <span class="math inline">\(X\)</span> 的值，使得如果第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个女性的肿瘤呈阴性染色，则 <span class="math inline">\(x_i = 0\)</span>，如果肿瘤染色呈阳性，则 <span class="math inline">\(x_i = 1\)</span>。拟合该模型后，我们得到 <span class="math inline">\(\hat{\mu}=5.854,\hat{\sigma}=1.067\)</span> 以及 <span class="math inline">\(\hat\alpha = -0.997\)</span>。</p>
<p>对于染色呈阳性的女性，时间比 <span class="math inline">\(e^{\alpha x_i}\)</span> 的估计为 <span class="math inline">\(e^{\large-0.997}=0.37\)</span>。因此，肿瘤染色呈阳性的女性的死亡时间约为肿瘤染色呈阴性的女性的三分之一。等价地，在该模型下，阳性染色可将死亡时间加快约 2.7 倍。这与<a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#exm:ex5-13">示例 5.13</a> 中发现的百分位-百分位图的斜率估计一致。</p>
<p>第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个女性的生存函数估计由式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-66">(5.66)</a> 给出</p>
<p><span class="math display">\[\hat{S_i}(t)=\exp\left\{-\exp\left(\frac{\log t-\hat{\mu}-\hat{\alpha}x_i}{\hat{\sigma}}\right)\right\}\]</span></p>
<p>并且对于 <span class="math inline">\(x_i\)</span> 的两个值，可以绘制生存函数关于 <span class="math inline">\(t\)</span> 的图形。使用式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-69">(5.69)</a>，在 Weibull 加速失效时间模型下，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 名女性的中位生存时间为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}t_i(50)=\exp\left\{\sigma\log(\log2)+\mu+\alpha x_i\right\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>阴性染色 (<span class="math inline">\(x_i = 0\)</span>) 的女性的中位生存时间估计为 236 天，而阳性染色 (<span class="math inline">\(x_i = 1\)</span>) 的女性的中位生存时间估计为 87 天，正如<a href="chap5.html#exm:ex5-7">示例 5.7</a> 所示。注意两个中位数的比值为 0.37，这是时间比。因此，肿瘤呈阳性染色的女性的中位生存时间约为肿瘤呈阴性染色的女性的三分之一。</p>
<p>第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个女性的风险函数估计由式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-67">(5.67)</a> 给出：</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{h}_i(t)=\hat{\sigma}^{-1}t^{\hat{\sigma}^{-1}-1}\exp\left(\frac{-\hat{\mu}-\hat{\alpha}x_i}{\hat{\sigma}}\right)\end{aligned}\]</span></p>
<p>即</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{h}_i(t)&=0.937t^{-0.063}\exp(-5.488+0.934x_i)\end{aligned}\]</span></p>
<p>图 5.22 显示了两组妇女的这一函数图。</p>
<details><summary><font color="#8B2232">图 5.22</font>
</summary><img src="figure/figure%205.22.png#center" style="width:80.0%"></details><p><br>
在 <a href="chap5.html#sec5-6">5.6</a> 节给出的 Weibull 模型的比例风险表示中，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 名女性在时间 <span class="math inline">\(t\)</span> 的死亡风险为</p>
<p><span class="math display">\[h_{\boldsymbol{i}}(t)=e^{\boldsymbol{\beta}x_{\boldsymbol{i}}}h_{\boldsymbol{0}}(t)\]</span></p>
<p>若第 <span class="math inline">\(i\)</span> 位女性的肿瘤染色呈阴性，<span class="math inline">\(x_i\)</span> 的值为零，若肿瘤染色呈阳性，则为一。对于 Weibull 分布，基线风险函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_0(t)=\lambda\gamma t^{\boldsymbol{\gamma}-1}\end{aligned}\]</span></p>
<p>这是肿瘤染色呈阴性的女性的风险函数，因此</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_i(t)=e^{\beta x_i}\lambda\gamma t^{\gamma-1}\end{aligned}\]</span></p>
<p>参数 <span class="math inline">\(\lambda,\gamma\)</span> 和 <span class="math inline">\(\beta\)</span> 的相应估计为 <span class="math inline">\(\hat \lambda=\exp(-\hat{\mu}/\hat{\sigma})=0.00414,\hat{\gamma}=1/\hat{\sigma}=0.937\)</span> 以及 <span class="math inline">\(\hat{\beta}=-\hat{\alpha}/\hat{\sigma}=0.997\)</span>。Weibull 加速失效时间模型与 Weibull 比例风险模型之间的对应关系意味着后者模型下的风险比为 <span class="math inline">\(e^{-\alpha/\sigma}=e^{\beta}\)</span>，估计为 2.55。这与<a href="chap5.html#exm:ex5-7">示例 5.7</a> 中的值一致。</p>
<p>我们现在为相同数据集拟合 log-logistic 加速失效时间模型。根据模型的对数线性形式现在得到 <span class="math inline">\(\hat\mu = 5.461,\hat \sigma = 0.805\)</span> 和 <span class="math inline">\(\hat\alpha = −1.149\)</span>。时间比为 <span class="math inline">\(e^\alpha\)</span>，估计值为 <span class="math inline">\(0.32\)</span>。这略小于 Weibull 加速失效时间模型下的结果。</p>
<p>根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-72">(5.72)</a>，该模型下第 <span class="math inline">\(i\)</span> 名女性的中位生存时间由下式给出</p>
<p><span class="math display">\[\exp(\mu+\alpha x_i)\]</span></p>
<p>其中阴性染色女性的中位生存时间估计为 235 天，阳性染色女性的中位生存时间估计为 75 天，这些值与 Weibull 加速失效时间模型所得值非常接近。</p>
<p>根据式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-71">(5.71)</a>，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 名女性的风险函数估计为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{h}_i(t)=\frac{1}{\hat{\sigma}t}\left\{1+\exp\left[-\left(\frac{\log t-\hat{\mu}-\hat{\alpha}x_i}{\hat{\sigma}}\right)\right]\right\}^{-1}\end{aligned}\]</span></p>
<p>这是</p>
<p><span class="math display">\[\hat{h}_i(t)=1.243t^{-1}\left\{1+t^{-1.243}\exp\left(6.787-1.428x_i\right)\right\}^{-1}\]</span></p>
<p>图 5.23 显示了两组妇女的这一函数图。这可以与图 5.22 进行比较。</p>
<details><summary><font color="#8B2232">图 5.23</font>
</summary><img src="figure/figure%205.23.png#center" style="width:80.0%"></details><p><br>
在这两种模型下，阴性染色者的风险函数非常相似。然而，log-logistic 模型下阳性染色者的风险函数与 Weibull 模型下的风险函数不同。拟合的 Weibull 和 log-logistic 模型的 <span class="math inline">\(-2\operatorname{log}\hat{L}\)</span> 统计量的值分别为 121.77 和 118.495. 在此基础上，log-logistic 模型提供了稍好的拟合。第 <a href="chap7.html#chap7">7</a> 章讨论的残差分析可能有助于在这两个模型之间进行选择，尽管对于这个小数据集，这样的分析不太可能提供非常丰富的信息。</p>
<p>最后，根据 <a href="chap5.html#sec5-1-3">5.1.3</a> 节给出的模型参数化，基线风险函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_0(t)=\frac{e^\theta\kappa t^{\kappa-1}}{1+e^\theta t^\kappa}\end{aligned}\]</span></p>
<p>因此研究中第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个女性的风险函数是</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}h_i(t)=\frac{e^{\theta-\kappa\alpha x_i}\kappa t^{\kappa-1}}{1+e^{\theta-\kappa\alpha x_i}t^\kappa}\end{aligned}\]</span></p>
<p><span class="math inline">\(\theta,\kappa\)</span> 的相应估计为 <span class="math inline">\(\hat\theta=-\hat\mu/\hat\sigma=-6.787,\hat{\kappa}=1/\hat{\sigma}=1.243\)</span>。</p>
</div>
</div>
<div class="rmdnote">
<div class="example">
<p><span id="exm:ex5-15" class="example"><strong>示例 5.15 (前列腺癌两种疗法的比较) </strong></span><br></p>
<p>使用 log-logistic 加速失效时间模型进一步说明生存数据建模，这里考虑比较前列腺癌两种疗法的临床试验数据。这些数据首先在<a href="chap1.html#exm:ex1-4">示例 1.4</a> 中给出，并在<a href="chap3.html#exm:ex3-6">示例 3.6</a> 和 3.12 中使用 Cox 回归模型进行了分析。为了确定在 log-logistic 加速失效时间模型线性部分中应包含的项，可以再次遵循<a href="chap3.html#exm:ex3-6">示例 3.6</a> 中描述的程序。表 5.9 显示了具有四个预后变量（Age、Shb、Size 和 Index）所有组合的拟合模型的 <span class="math inline">\(-2\log\hat{L}\)</span> 统计量的值。</p>
<details><summary><font color="#8B2232">表 5.9</font>
</summary><img src="figure/table%205.9.png#center" style="width:80.0%"></details><p><br>
正如<a href="chap3.html#exm:ex3-6">示例 3.6</a>，模型中需要变量 Size 和 Index. 当省略这两个变量中的任何一个时，<span class="math inline">\(-2\log\hat{L}\)</span> 值的相应增量是显著的，当 Age 或 Shb 添加到模型中时，<span class="math inline">\(-2\log\hat{L}\)</span> 都不会显著减小。</p>
<p>当在包含 Size 和 Index 的模型中加入与治疗效应对应的项 Treat 时，<span class="math inline">\(-2\log\hat{L}\)</span> 减小为 21.245. 将该 1.867 的减小量与自由度为一的卡方分布的百分位点相比时，在 10% 的水平上并不显著 (<span class="math inline">\(P=0.172\)</span>)。也没有证据表明 Treat 与预后变量 Size 和 Index 之间有任何交互作用，因此结论为：治疗效应在统计学上不显著。</p>
<p>治疗效应的大小可以用时间比或加速因子来评估。根据模型的对数线性形式，与第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个患者的生存时间 <span class="math inline">\(T_i\)</span> 相关的随机变量为：</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\log T_i=\mu+\alpha_1\textit{Size}_i+\alpha_2\textit{Inde}x_i+\alpha_3\textit{Treat}_i+\sigma\epsilon_i\end{aligned}\]</span></p>
<p>其中 <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> 具有 logistic 分布，<span class="math inline">\(Size_i\)</span> 和 <span class="math inline">\(Index_i\)</span> 是第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体的肿瘤大小和 Gleason 指数的值，如果第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个个体在安慰剂组，则 <span class="math inline">\(Treat_i\)</span> 为零，如果在治疗组，则为一。该模型中未知参数的最大似然估计为
<span class="math inline">\(\hat{\mu}=7.661,\hat{\sigma}=0.338,\hat{\alpha}_1=-0.029,\hat{\alpha}_2=-0.293\)</span> 和 <span class="math inline">\(\hat{\alpha}_3=0.573\)</span>。<span class="math inline">\(\alpha\)</span> 的值表明，肿瘤大小和肿瘤指数越大，生存时间往往越短，而接受活性治疗的个体生存时间往往越长。</p>
<p>使用式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-70">(5.70)</a>，第 <span class="math inline">\(i\)</span> 个患者拟合的生存函数为</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{S}_i(t)=\left[1+\exp\left\{\frac{\log t-\hat{\mu}-\hat{\alpha}_1\textit{Size}_i-\hat{\alpha}_2\textit{Index}_i-\hat{\alpha}_3\textit{Treat}_i}{\hat{\sigma}}\right\}\right]^{-1}\end{aligned}\]</span></p>
<p>可以写成以下形式</p>
<p><span class="math display">\[\hat{S_i}(t)=\left\{1+t^{1/\hat{\sigma}}\exp\left(\hat{\zeta_i}\right)\right\}^{-1}\]</span></p>
<p>其中</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{\zeta}_i&=\frac{1}{\hat{\sigma}}\left\{-\hat{\mu}-\hat{\alpha}_1\textit{Size}_i-\hat{\alpha}_2\textit{Inde}x_i-\hat{\alpha}_3\textit{Treat}_i\right\}\end{aligned}\]</span></p>
<p>也就是</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{\zeta}_i&=-22.645+0.085\textit{ Size}_i+0.865\text{ }Index_i-1.693\textit{ Treat}_i\end{aligned}\]</span></p>
<p>对累积风险函数估计 <span class="math inline">\(\hat{H_{i}}(t)=-\operatorname{log}\hat{S_{i}}(t)\)</span> 关于 <span class="math inline">\(t\)</span> 微分，可以得到相应的风险函数估计。这给出了</p>
<p><span class="math display">\[\hat{h}_i(t)=\frac1{\hat{\sigma}t}\left\{1+t^{-1/\hat{\sigma}}\exp\left(-\hat{\zeta}_i\right)\right\}^{-1}\]</span></p>
<p>也可直接从式 <a href="%E5%8F%82%E6%95%B0%E5%9B%9E%E5%BD%92%E6%A8%A1%E5%9E%8B.html#eq:5-71">(5.71)</a> 给出的风险函数获得该结果。</p>
<p>治疗组中的个体相对于对照组中的个体的时间比估计为 <span class="math inline">\(e^{0.573}=1.77\)</span>。对这一结果的解释是，考虑到肿瘤的大小和指数后，己烯雌酚治疗的效应是使生存时间几乎翻倍。这种效应可能具有临床重要性，尽管它在统计上并不显著。然而，在接受这种解释之前，应使用适当的诊断来检查拟合模型的充分性。</p>
<p>通过对时间比对数的置信限求指数来找到时间比的置信区间。在此示例中，治疗效应时间比对数是风险函数模型中 <span class="math inline">\(Treat\)</span> 的系数估计 -0.573，该标准误估计为 0.473. 因此，时间比的 95% 置信限为 <span class="math inline">\(\exp\{0.573\pm1.96\times0.473\}\)</span>，所求区间为 0.70 到 4.48. 请注意，此区间估计包括 1，这与之前发现的非显著治疗效应一致。</p>
<p>最后，根据 <a href="chap5.html#sec5-1-3">5.1.3</a> 节的模型的参数化，第 <span class="math inline">\(i(i=1,2,\ldots,38)\)</span> 个患者的拟合风险函数为</p>
<p><span class="math display">\[\hat{h}_i(t)=e^{\boldsymbol{-}\hat{\eta}_i}\hat{h}_0(e^{\boldsymbol{-}\hat{\eta}_i}t)\]</span></p>
<p>其中</p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{\eta_i}=-0.029\text{ }Size_i-0.293\text{ }Index_i+0.573\text{ }Treat_i\end{aligned}\]</span></p>
<p>并且根据式 <a href="chap5.html#eq:5-8">(5.8)</a></p>
<p><span class="math display">\[\begin{aligned}\hat{h}_0(t)=\frac{e^{{\hat{\theta}}}\hat{\kappa}t^{{\hat{\kappa}}-1}}{1+e^{\hat{\theta}}t^{\hat{\kappa}}}\end{aligned}\]</span></p>
<p>这种形式的基线风险函数估计 <span class="math inline">\(\hat{h}_0(t)\)</span> 的参数估计为 <span class="math inline">\(\hat{\theta}=-22.644\)</span> 和 <span class="math inline">\(\hat{\kappa}=2.956\)</span>，该函数的图形如图 5.24 所示。</p>
<details><summary><font color="#8B2232">图 5.24</font>
</summary><img src="figure/figure%205.24.png#center" style="width:80.0%"></details><p><br>
该图表明基线风险随着时间的推移而增加。与拟合的 Weibull 模型的基线风险函数的比较（也在图中）表明，在 log-logistic 模型下，基线风险函数估计不会增加得那么快。</p>
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