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\include{headerueb}
\include{header}
\include{info}
\newcommand{\nr}{10}
\begin{document}
\section*{Aufgabe 1}
\begin{eqnarray}
-x_1 + x_2 \leq 0 &\Rightarrow& x_2 \leq x_1 \\
x_1 - x_2 \leq 2 &\Rightarrow& x_2 \leq x_1 - 2 \\
x_1 + x_2 \leq 2 &\Rightarrow& x_2 \leq -x_1 + 2 \\
-x_1 - x_2 \leq 0 &\Rightarrow& x_2 \geq -x_1 \\
x_1 \leq 3
\end{eqnarray}
\includegraphics[width=\textwidth]{u10-plot}
\tf Loesungen inerhalb der umschlossenen Flaeche, als nur Richtung der Optimierung wichtig
\begin{enumerate}[a)]
\item $c =\left( \begin{matrix}1\\0\end{matrix} \right)$
moeglichst weit links \tf Optimum bei $(0,0)$ mit Wert $0$
\item $c =\left( \begin{matrix}-3\\ 1\end{matrix} \right)$
moeglichst weit in rechts unten \tf Optimum bei $(2,0)$ mit Wert $-3 \cdot 2 + 0 = -6$
\item $c =\left( \begin{matrix}-1\\ -1\end{matrix} \right)$
Optimum auf gerade richts oben, c.B. bei $(1,1)$ mit Wert $-1-1 = -2$
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 2}
\begin{eqnarray}
s x_1 + t x_2 &\leq& 1\\
x_2 &\leq& -\frac{s}{t} x_1 + \frac{1}{t}\\
x_1 &\leq& -\frac{t}{s} x_2 + \frac{1}{s}
\end{eqnarray}
Eckpunkt bei $x_1$-Achse ($x_2=0$) bei $\frac{1}{s}$,
bei $x_2$-Achse ($x_1=0$) bei $\frac{1}{t}$.
Da die Reichtung der Optimierung $\left( \begin{matrix}1\\1\end{matrix} \right)$ ist,
und $x_1, x_2 \geq 0$ sein muessen, gilt
\begin{enumerate}[a)]
\item optimale Loesung, falls $x_1, x_2 > 0$
\item keine Loesung, falls $x_1, x_2 < 0$
\item unbeschrenkt, sonst
\end{enumerate}
\section*{Aufgabe 3}
\paragraph{a)}
\begin{eqnarray}
1 x_1 + 1 x_2 + 2 x_3 &\leq& 4 \\
2 x_1 + 0 x_2 + 3 x_3 &\leq& 5 \\
2 x_1 + 1 x_2 + 3 x_3 &\leq& 7
\end{eqnarray}
Einfuehrung der Schlupfwariablen und Zielfunktion als Gleichung:
\begin{eqnarray}
1 x_1 + 1 x_2 + 2 x_3 + x_4 &=& 4 \\
2 x_1 + 0 x_2 + 3 x_3 + x_5 &=& 5 \\
2 x_1 + 1 x_2 + 3 x_3 + x_6 &=& 7 \\
3 x_1 - 2 x_2 - 4 x_3 &=& z
\end{eqnarray}
Basis $x_4, x_5, x_6$:
\begin{eqnarray}
x_4 &=& 4 - 1 x_1 - 1 x_2 - 2 x_3 \\
x_5 &=& 5 - 2 x_1 + 0 x_2 - 3 x_3 \\
x_6 &=& 7 - 2 x_1 - 1 x_2 - 3 x_3 \\
z &=& 0 - 3 x_1 - 2 x_2 - 4 x_3
\end{eqnarray}
Eintritsvariable $x_2$ \tf Austritt $x_4$:
\begin{eqnarray}
x_2 &=& 4 - 1 x_1 - 2 x_3 - 1 x_4 \\
x_5 &=& 5 - 2 x_1 + 3 x_3 + 0 x_4 \\
x_6 &=& 3 - 1 x_1 - 1 x_3 + 1 x_4 \\
z &=& -8 - 1 x_1 + 2 x_4
\end{eqnarray}
Eintrittsvariable $x_1$ \tf Austritt $x_5$
\begin{eqnarray}
x_1 &=& \frac{5}{2} + \frac{3}{2} x_3 + 0 x_4 - \frac{1}{2} x_5 \\
x_2 &=& \frac{3}{2} - \frac{7}{2} x_3 - 1 x_4 + \frac{1}{2} x_5 \\
x_6 &=& \frac{1}{2} - \frac{5}{2} x_3 + 1 x_4 + \frac{1}{2} x_5 \\
z &=&-\frac{21}{2} - \frac{3}{2} x_3 + 2 x_4 + \frac{1}{2} x_5 \\
\end{eqnarray}
Eintrittsvariable $x_3$
\end{document}