diff --git "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\347\253\240\350\212\202/\344\270\212\345\215\212\345\255\246\346\234\237.typ" "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\347\253\240\350\212\202/\344\270\212\345\215\212\345\255\246\346\234\237.typ"
index a0f332d..05d6bb4 100644
--- "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\347\253\240\350\212\202/\344\270\212\345\215\212\345\255\246\346\234\237.typ"
+++ "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\347\253\240\350\212\202/\344\270\212\345\215\212\345\255\246\346\234\237.typ"
@@ -2274,13 +2274,22 @@
       $A = ZZ_((p)), M = QQ$ 它不是自由模但是是平坦模
     ]
     #proof[
-      - 断言它不是投射模，否则 $QQ$ 是自由模的直和，进而 $QQ$ 中任何元素将含于某个自由的子模。\
-        设 $1 in L subset QQ$，其中 $L$ 是自由模，显然将有 $ZZ subset L$\
-        然而这是荒谬的，既然：
+      - 断言它不是投射模，否则 $QQ$ 是自由模的直和项。设 $f: QQ -> F$ 是 $QQ$ 到自由模的嵌入映射，首先注意到：
         $
-        2_(A) dot 1_L - 1_A dot 2_L = 0
+        A f(1) tilde.eq A
         $
-        这与 $L$ 是自由模矛盾
+        
+        然而：
+        $
+        f(1) = f(p dot 1/p) = p f(1/p) => 1 dot f(1) - p f( 1/p)\
+        f(1) = p^2 f(1/p^2)\
+        ...
+        $
+        这表明若设 $x_0, x_1, ... in A$ 分别是 $f(1), f(1/p), ...$ 在 $F$ 中的某分量，一定有：
+        $
+        x_0 = p^n x_n
+        $
+        然而 $A$ 中没有元素能被无穷多个 $p$ 整除，矛盾！
       - 证明它是平坦模，首先 $QQ$ 作为 $ZZ$ 的局部化由局部化的正合性知在 $QQ$ 上平坦，再做 $(p)$ 的局部化可得另一个平坦性\
     ]
   == 忠实平坦
@@ -2660,7 +2669,7 @@
       利用线性代数的基本结论，这是容易的
     ]
     #lemma[][
-      模是 Artin/Noether 的当且仅当合成列中每一项都是 Artin/Noether 的
+      模是 Artin/Noether 的当且仅当子模链中每一项都是 Artin/Noether 的
     ]<compositor-noether-artin>
     #corollary[][
       设 $A$ 是环且存在有限多个极大理想（允许重复） $m_i$ 使得 $m_1 m_2 ... m_n = (0)$，则 $A$ 是 Artin 环当且仅当 $A$ 是 Noether 环
@@ -3150,7 +3159,7 @@
         $
         x = y / s, y in p_2 B, s in B - q_1
         $
-        断言 $y in B$ 在 $p_2 subset A$ 中整，进而它的极小多项式系数落在 $sqrt(p_2) = p_2$ 中，也即其最小多项式形如：
+        断言 $y in B$ 在 $p_2 subset A$ 中整（既然 $p_2$ 在 $B$ 中的整闭包是 $sqrt(p_2 B)$，进而它的极小多项式系数落在 $sqrt(p_2) = p_2$ 中，也即其最小多项式形如：
         $
         t^r + a_1 t^(r-1) + ... + a_r, a_i in p_2
         $
@@ -3167,7 +3176,10 @@
         s^r = -b_1 s^(r-1) - ... - b_r in p_2
         $
         故 $s in p_2$，然而之前假设 $s in B - q_1$，矛盾！
-        #TODO
+
+        这表明 $x in p_2$，也即 $p_2 B_(q_1) sect A subset p_2$，反之 $p_2 subset p_2 B_(q_1) sect A$ 是显然的，最终有 $p_2 B_(q_1) sect A = p_2$
+        
+        
       ]
       #theorem[][
         设 $A subset B$ 都是整环，$B$ 在 $A$ 上整，$A$ 在其分式域 $k$ 中整闭，则：
diff --git "a/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/main.typ" "b/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/main.typ"
index ed3c872..c99f533 100644
--- "a/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/main.typ"
+++ "b/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/main.typ"
@@ -1244,7 +1244,13 @@
       
     ]<integral-mean>
     #proof[
-      就是柯西积分的特殊情况
+      由柯西积分：
+      $
+      f(z) 
+      &= 1/(2 pi i) integral_(diff B(z, r))^() f(w)/(w - z) dif w \
+      &= 1/(2 pi i) integral_(0)^(2pi) f(z + r e^(i theta))/(r e^(i theta)) dif (z + r e^(i theta))\
+      &= 1/(2 pi) integral_(0)^(2pi) f(z + r e^(i theta)) dif theta
+      $
     ]
   == 与几何与分析有关的定理
     #lemma[Schwarz][
@@ -1723,6 +1729,7 @@
           ]
           由引理，立得@int1 趋于零
     ]
+  == 幅角原理
     #theorem[幅角原理|The Argument Principle][
       设 $f$ 是 $G subset CC$ 上的亚纯函数，以 $p_1, ..., p_m$ 为极点（多重重复记）和 $z_1, z_2, ..., z_n$ 为零点（多重重复记），$gamma$ 是 $G$ 上与这些零点，极点不交的可求长曲线，并且：
       $
@@ -1747,6 +1754,46 @@
       $
       几何意义上，就是 $gamma$ 绕 $z$ 一圈时对幅角的积分
     ]
+    #theorem[幅角原理2][
+      设 $f$ 是 $G subset CC$ 上的亚纯函数，以 $p_1, ..., p_m$ 为极点（多重重复记）和 $z_1, z_2, ..., z_n$ 为零点（多重重复记），$gamma$ 是 $G$ 上与这些零点，极点不交的可求长曲线，$g$ 是区域上的解析函数，并且：
+      $
+      n(gamma, z) = 0, forall z in CC - G
+      $
+      此时：
+      $
+      1/(2 pi i) integral_gamma g(z) (f'(z))/(f(z)) dif z = sum_(k=1)^n g(z_k) n(gamma, z_k) - sum_(k=1)^m g(p_k) n(gamma, p_k)
+      $
+    ]<arg-principle2>
+    #proposition[][
+      设 $f$ 在包含 $closedBall(a, R)$ 的开集上是解析的，在 $B(a; R)$ 上是一一的。设 $Omega = f(B(a; R))$ 则有：
+      $
+      Inv(f) (omega) = 1/(2 pi i) integral_(diff B(a; R))^() (z f'(z))/(f(z) - omega) dif z 
+      $
+    ]
+    #proof[
+      注意到解析的一一映射只能有简单零点，记 $z_0 = Inv(f)(omega)$，它是 $f - omega$ 的简单零点，利用 @arg-principle2 有：
+      $
+      z_0 = 1/(2 pi i) integral_(diff B(a; R))^() (z f'(z))/(f(z) - omega) dif z
+      $
+      证毕
+      
+    ]
+    #theorem[Rouche][
+      设 $f, g$ 在包含 $closedBall(a, R)$ 的开集上是解析的，在 $diff B(a; R)$ 上无零点/极点，设 $Z_f, Z_g, P_f, P_g$ 分别是 $f, g$ 在 $B(a; R)$ 中的零点/极点个数，并且设：
+      $
+      abs(f(z) + g(z)) < abs(f(z)) + abs(g(z)), forall z in diff B(a; R)
+      $
+      则有：
+      $
+      Z_f - P_f = Z_g - P_g
+      $
+    ]
+    #remark[][
+      使用时，往往以下加强的条件已经足够：
+      $
+      abs(f(z) + g(z)) < abs(g(z))
+      $
+    ]
 = 解析延拓 Continuation 
   == 沿曲线的解析延拓
     今晚调课：6:40 - 8:40 理教 103
@@ -1854,7 +1901,7 @@
       #TODO
     ]
 = 黎曼映射定理  
-  本章的目的是证明黎曼映射定理。它的目的是分类所有的单连通的区域。最终的结果是单连通区域只可能是整个复平面或者单位圆盘中某个区域的双全纯等价。
+  本章的目的是证明黎曼映射定理。它的目的是分类所有的单连通的区域。最终的结果是单连通区域只可能是整个复平面或者与单位圆盘双全纯等价。
   == 双全纯函数
     #remark[][
       $CC$ 当然不可能与任何有界区域双全纯等价，否则与整函数无界矛盾。
diff --git "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 8.typ" "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 8.typ"
new file mode 100644
index 0000000..bf8b79b
--- /dev/null
+++ "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 8.typ"	
@@ -0,0 +1,262 @@
+#import "../../template.typ": *
+// Take a look at the file `template.typ` in the file panel
+// to customize this template and discover how it works.
+#show: note.with(
+  title: "作业8",
+  author: "YHTQ",
+  date: none,
+  logo: none,
+  withOutlined : false,
+  withTitle : false,
+  withHeadingNumbering: false
+)
+= p247
+  == 1
+      不妨假设 $f$ 在 $(x_1, x_2)$ 上恒正，有：
+      $
+      f'(x_1) >= 0, f'(x_2) <= 0
+      $
+      假设 $g(x)$ 在 $(x_1, x_2)$ 上无零点，不妨设其恒正。令：
+      $
+      W(x) = Det(f, g;f', g') = f g' - f' g\
+      W'(x) = Det(f, g;f'', g'') = Det(f, g;-p(x)f' - q(x) f, -p(x) g' - r(x) g)\
+      =Det(f, g;-p(x)f', -p(x) g' - (r(x) - p(x)) g)\
+      = - p(x) W(x) - f g (r(x) - p(x))
+      $
+      注意到一定有：
+      $
+      f g(r(x) - p(x)) > 0
+      $
+      由一阶方程的比较定理，有：
+      $
+      B e^(-p(x)) < W(x) < A e^(-p(x))
+      $
+      其中 $A e^(-p(x))$ 是：
+      $
+      cases(
+        W'(x) = -p(x) W(x),
+        W(x_1) = - g(x_1) f'(x_1)
+      )
+      $
+      的解，而 $B e^(-p(x))$ 是：
+      $
+      cases(
+        W'(x) = -p(x) W(x),
+        W(x_1) = - g(x_2) f'(x_2)
+      )
+      $
+      的解，然而不难发现 $- g(x_1) f'(x_1) <= 0, - g(x_2) f'(x_2) => 0$ 导致 $A <= 0, B >= 0$，这是荒谬的！
+  == 2
+    考虑 $y'' + m y = 0$ 的解 $sin (sqrt(m) x)$ 由比较定理： $k/(sqrt(m)) pi$ 之间一定有 $phi$ 的解，因此 $phi$ 无限振动\
+    对于任何两个相邻零点 $x_1, x_2$:
+    - 可以找到 $y'' + m y = 0$ 的解 $sin (sqrt(m) x - x_1)$，加强的比较定理给出 $x_2 in (x_1, x_2 + pi/sqrt(m))$
+    - 可以找到 $y'' + M y = 0$ 的解 $sin (sqrt(M) x - x_1)$，加强的比较定理给出 $pi/sqrt(M) in (x_1, x_2)$
+    证毕
+  == 3
+    注意到：
+    $
+    (z/y)' = (z' y - z y') / y^2\
+    (z' y - z y')' = z'' y - z y'' = z q(x) y - z Q(x) y = (q(x) - Q(x)) z y < 0\
+    z' y - z y'|_(x = x_0) = 0
+    $
+    进而 $z' y - z y' < 0$，原式单调减少
+  == 7
+    由线性方程组结论，设 $u$ 是满足 $y(0) = a$ 的解，$v$ 是满足 $y(0) = 0$ 的非零解，则所有 $y(0) = a$ 的解恰为：
+    $
+    u+ C v, forall C in RR
+    $
+    进而满足给定初值的解就是要：
+    $
+    u(1) + C v(1) = b
+    $
+    只要 $v(1) != 0$ 方程就恰有唯一解，而若 $v(1) = 0$，由比较定理 $y'' = 0$ 的解 $y = 1$ 一定在 $[0, 1]$ 上有零点，这是荒谬的！（类似的，该方程的解至多一个零点）
+
+    对于第二个结论，不妨设 $a > 0$，已经说明解至多一个零点，无妨设 $phi(x)$ 在 $(0, 1)$ 上恒正，因此 $phi''$ 也恒正，导函数单调增加。然而由 $(0, 1)$ 间恒正可得 $y'(1) < 0$（不能等于零，否则整个解为零），进而函数严格单调减少。
+= p258
+  == 1
+      - 设 $lambda = - m^2$，则 $y'' + lambda y = 0$ 的通解为：
+        $
+        linearCombinationC(e^(m x), e^(-m x))
+        $
+        代入初值：
+        $
+        cases(
+          C_1 + C_2 = 0,
+          C_1 e^m + C_2 e^(-m) = 1
+        )
+        $
+        只要 $m != 0$ 方程一定有解。若初值为 $(0, 0)$ 则无解
+      - 设 $lambda = m^2$，则 $y'' + lambda y = 0$ 的通解为：
+        $
+        linearCombinationC(cos m x, sin m x)
+        $
+        代入初值：
+        $
+        cases(
+          C_1 = 0,
+          C_1 cos m + C_2 sin m = 1
+        )
+        $
+        只要 $m != k pi$ 方程一定有解。若初值为 $(0, 0)$ 则除非 $m = k pi$ 方程无解
+  == 2
+    这是欧拉方程，令 $x = e^t$。计算：
+    $
+    der(y, x) = der(y, t)der(t, x) = der(y, t) e^(-t)\
+    der(der(y, x), x) = der(der(y, x), t)der(t, x) = der( der(y, t) e^(-t), t) e^(-t)   \
+    = ((dif^2 y)/(dif t^2) e^(-t) - der(y, t) e^(-t))e^(-t)\
+    x^2 der(der(y, x), x) = (dif^2 y)/(dif t^2) - der(y, t)
+    $
+    代回方程得：
+    $
+    cases(
+      (y'' - y') - lambda y' + lambda y = 0,
+      y(0) = 0,
+      y(ln 2) = 0
+
+    )
+    
+    $
+    方程化为：
+    $
+    y'' -(lambda + 1)y' + lambda y = 0
+    $
+    - $lambda != 1$ 时特征根分别为 $1, lambda$，通解为：
+      $
+      linearCombinationC(e^x, e^(lambda x))
+      $
+      代入初值：
+      $
+      cases(
+        C_1 + C_2 = 0,
+        2 C_1 + 2^lambda C_2 = 0
+      )
+      $
+      有非零解当且仅当 $lambda = 1$ ，这是不可能的
+    - $lambda = 1$ 时通解为：
+      $
+      linearCombinationC(x e^x, e^x)
+      $
+      代入初值：
+      $
+      cases(
+        C_2 = 0,
+        2 ln 2 C_1 + 2 C_2 = 0
+      )
+      $
+      仍然无非零解
+  == 4
+    用常数变易法，假设 $u_1, u_2$ 是对应齐次方程的两个基解，设：
+    $
+    y = linearCombinationC(u_1, u_2)\
+    y' = linearCombinationC(u'_1, u'_2) + C'_1 u_1 + C'_2 u_2\
+    $
+    设 $C'_1 u_1 + C'_2 u_2 = 0$，继续求导：
+    $
+    y'' = linearCombinationC(u''_1, u''_2) + C'_1 u'_1 + C'_2 u'_2\
+    linearCombinationC(u''_1, u''_2) + C'_1 u'_1 + C'_2 u'_2 + (lambda r(x) +q(x))  linearCombinationC(u_1, u_2) = f(x)\
+    C'_1 u'_1 + C'_2 u'_2 = f(x)
+    $
+    得到方程组：
+    $
+    cases(
+      C'_1 u_1 + C'_2 u_2 = 0,
+      C'_1 u'_1 + C'_2 u'_2 = f(x)
+    )
+    $
+    解得：
+    $
+    C'_2 (u_1 u'_2 - u'_1 u_2) = f(x) u_1\
+    C'_2 = (f(x) u_1) / (u_1 u'_2 - u'_1 u_2)\
+    C'_1 = (f(x) u_2) / (u'_1 u_2 - u_1 u'_2)\
+    C_2 = integral_(0)^(x)   (f u_1) / (u_1 u'_2 - u'_1 u_2) + A_2\
+    C_1 = integral_(0)^(x)   (f u_2) / (u'_1 u_2 - u_1 u'_2) + A_1
+    $
+    代入边值：
+    $
+    cases(
+      (C_1 (0) u_1 (0) + C_2 (0) u_2 (0)) cos alpha - (C_1 (0) u'_1 (0) + C_2 (0) u'_2 (0)) sin alpha = 0,
+      (C_1 (1) u_1 (1) + C_2 (1) u_2 (1)) cos alpha - (C_1 (1) u'_1 (1) + C_2 (1) u'_2 (1)) sin alpha = 0
+    )
+    $
+    观察发现，这是关于 $A_1, A_2$ 的非齐次线性方程组，系数矩阵为：
+    $
+    mat(u_1 (0) cos alpha - u'_1 (0) sin alpha, u_2 (0) cos alpha - u'_2 (0) sin alpha; u_1 (1) cos alpha - u'_1 (1) sin alpha, u_2 (1) cos alpha - u'_2 (1) sin alpha)
+    $
+    - 若其满秩，不难发现方程组有唯一解
+    - 否则，两行线性相关，不难得到齐次微分方程的特征函数，进而 $lambda$ 一定是特征值。此时不妨设 $u_1$ 是特征函数，方程化简为：
+      $
+      cases(
+       C_2 (0) u_2 (0) cos alpha - C_2 (0) u'_2 (0) sin alpha = 0,
+        C_2 (1) u_2 (1) cos alpha - C_2 (1) u'_2 (1) sin alpha = 0
+    )
+      $
+      断言  $u_2 (0) cos alpha - u'_2 (0) sin alpha != 0,u_2 (1) cos alpha - u'_2 (1) sin alpha != 0$ ，否则 $u_1, u_2$ 在 $0$ 或 $1$ 处线性相关，导致整个解线性相关，与无关假设矛盾！因此上式有解当且仅当 $C_2 (0) = C_2 (1)$
+
+      另一方面，令 $u_1 u'_2 - u'_1 u_2 = W(x)$，则有：
+      $
+      W'(x) = u_1 u''_2 - u''_1 u_2 = (lambda r(x) + q(x)) (u_1 u_2 - u_1 u_2) = 0
+      $
+      表明 $W(x)$ 是常数，当然非零（否则 $u_1, u_2$ 相关），因此：
+      $
+      C_2 (0) = C_2 (1) <=> integral_(0)^(1)   (f u_1) / (u_1 u'_2 - u'_1 u_2) = 0 <=> integral_(0)^(1)   f u_1 = 0
+      $
+      证毕
+= 
+  == 
+    $
+    partialDer(z, x) - y / (x + 2y) partialDer(z, y) = 0\
+    (dif x)/(x + 2 y) + (dif y)/y = 0\
+    y' = - y/(x + 2 y)\
+    u = y /x \
+    y = x u\
+    y' = u + x u' = - u/(1 + 2 u)\
+    x u' + (2 u + 2 u^2)/(1 + 2 u) = 0\
+    1/x x' + (1 + 2 u)/(2 u + 2 u^2) = 0\
+    1/x dif x + (1 + 2 u)/(2 u + 2 u^2) dif u = 0\
+    dif ln x + dif 1/2 ln (2 u + 2 u^2) = 0\
+    ln x + 1/2 ln (2 y/x + 2 y^2/x^2) = C\
+    $
+  ==
+    $
+    (dif x)/ (x - z) = (dif y)/ (y - z) = (dif z) / (2 z)\
+    (dif x)/ (x - z) = (dif z) / (2 z)\
+    2 z dif x - (x - z) dif z = 0\
+    2 dif x - (x / z - 1) dif z = 0\
+    u = x / z, x = z u, dif x = u dif z + z dif u\
+    2 (u dif z + z dif u) - (u - 1) dif z = 0\
+    (u + 1) dif z + 2 z dif u = 0\
+    1/z dif z + 2/(u + 1) dif u = 0\
+    ln z + 2 ln (u + 1) = C\
+    (x/z+1)^2 z = C\
+    (x - z) partialDer(u, x) = 2 (x/z + 1)(x - z)\
+    partialDer(u, z) = (x/z+1)^2 +  z (-x/z^2) 2(x/z + 1)\
+    2 z partialDer(u, z) = 2(x+z)(x/z + 1)  -4 x (x/z + 1) = 
+    $
+    $
+    (dif y)/ (y - z) = (dif z) / (2 z)\
+    (y/z + 1)^2 z = C
+    $
+  == 
+    $
+    (dif x)/(x y) = (dif y)/(x - 2 z) = (dif z)/(y z) 
+    $
+    $
+    (dif x)/(x) = (dif z)/(z)\
+    x/z = C_1 
+    $
+    $
+    y' = (x - 2 z)/(x y)\
+    z' = z / x\
+    y y' + 2 z' = 1\
+    1/2 y^2 + 2 z - x = C\
+    $
+    $
+    z = 1/2 x -1/4 y^2\
+    x y partialDer(z, x) = 1/2 x y\
+    (x - 2 z) partialDer(z, y) = (x - 2 z) (-1/2 y) 
+    $
+    $
+    (dif x_i)/(x_i) = (dif y)/(k y)\
+    ln x_i - 1/k ln (k y) = 0\
+     y = C x_i^k
+    $