From 3cd869c2925d73d0669fca8dc13a1115850a03aa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yhtq <1414672068@qq.com> Date: Wed, 24 Apr 2024 16:29:13 +0800 Subject: [PATCH] 4.24 --- .../\344\275\234\344\270\232/hw9.typ" | 92 +++++++++++++ .../main.typ" | 128 +++++++++++++++++- 2 files changed, 219 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 "\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw9.typ" diff --git "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw9.typ" "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw9.typ" new file mode 100644 index 0000000..16d15d5 --- /dev/null +++ "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw9.typ" @@ -0,0 +1,92 @@ +#import "../../template.typ": proof, note, corollary, lemma, theorem, definition, example, remark, proposition,der, partialDer, Spec, AModule, lemma1, tensorProduct, directSum, directLimit +#import "../../template.typ": * +#import "@preview/commute:0.2.0": node, arr, commutative-diagram + +#show: note.with( + title: "作业9", + author: "YHTQ", + date: none, + logo: none, + withOutlined : false, + withTitle :false, +) +（应交时间为4月30日） +#set heading(numbering: none) += p69 + == 16 + 设 $A = k[x_1, x_2, ..., x_n]$，可以找到 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的一个极大代数无关组，不妨设为 $x_1, x_2, ..., x_r$（若其中全部都是 $k$ 上的代数元则 $r = 0$，否则选出一个超越元成为 $x_1$，再寻找是否存在 $k[x_1]$ 上的代数元，以此类推） 若 $r = n$ 或 $r = 0$ 结论已经成立，下设 $0 < r < n$\ + 此时，当然有 $x_1, x_2, ..., x_r, x_n$ 代数相关，因此设 $n$ 次多项式 $f != 0$ 满足： + $ + 0 = f(x_1, x_2, ..., x_r, x_n) := sum_(d_n = 0)^n (sum_(l_1 + l_2 + ... +l_(r) + d_n <= n) a_(l_1, l_2, ..., l_(r), d_n) x_1^(l_1) x_2^(l_2) ... x_(r)^(l_(r))) x_n^(d_n) + $ + - 首先，设： + $ + f'(x) = sum_(d_n = 0)^n (sum_(l_1 + l_2 + ... +l_(r) + d_n <= n) a_(l_1, l_2, ..., l_(r), d_n) x_1^(l_1) x_2^(l_2) ... x_(r)^(l_(r))) x^(d_n) + $ + 当然就有 $f'(x_n) = 0$。同时，$f'$ 不可能是零多项式，否则每个系数都是 $x_1, x_2, ..., x_r$ 的零化多项式，由代数无关性这些多项式也是零多项式，表明 $f = 0$ ，与假设矛盾\ + + 然而它未必首一。观察发现 $f'$ 的 $n$ 次项仅有常系数，若恰非零则除去可逆元后成为首一多项式，但可能为零导致 $f'$ 不是首一多项式。为此，希望取得 $lambda_i$ 以及 $x'_i = x_i - lambda_i x_n, i = 1, 2, ..., r$，代入上式将有： + $ + 0 = sum_(d_n = 0)^n (sum_(l_1 + l_2 + ... +l_(r) + d_n <= n) a_(l_1, l_2, ..., l_(r), d_n) (x'_1 + lambda_1 x_n)^(l_1) (x'_2 + lambda_2 x_n)^(l_2) ... (x'_r + lambda_2 x_r)^(l_(r))) x_n^(d_n) + $ + 不难发现它关于 $x_n$ 的 $n$ 次项系数为： + $ + sum_(l_1 + l_2 + ... +l_(r) + d_n = n) a_(l_1, l_2, ..., l_(r), d_n) lambda_1^(l_1) lambda_2^(l_2) ... lambda_r^(l_r) + $ + 若设 $f$ 的 $n$ 次项恰为 $F(x_1, x_2, ..., x_r, x_n) != 0$，上式就是 $F(lambda_1, lambda_2, ..., lambda_r, 1)$ 为了证明可以取到一组 $lambda_i$ 使得前式非零（进而可逆，可以将多项式化为首一），注意到 $F$ 形如： + $ + sum_(d_n = 0)^n (sum_(l_1 + l_2 + ... +l_(r) + d_n = n) a_(l_1, l_2, ..., l_(r), d_n) x_1^(l_1) x_2^(l_2) ... x_(r)^(l_(r))) x_n^(d_n) + $ + 假设对于所有 $lambda_i$ 都有前式为零，由无限域的性质将有代入 $x_n = 1$ 的结果： + $ + sum_(d_n = 0)^n (sum_(l_1 + l_2 + ... +l_(r) + d_n = n) a_(l_1, l_2, ..., l_(r), d_n) x_1^(l_1) x_2^(l_2) ... x_(r)^(l_(r))) + $ + 是零多项式，观察形式将有每个系数 $a_(l_1, l_2, ..., l_(r), d_n)$ 都是零，进而 $F$ 是零，这是荒谬的。因此我们希望的 $lambda_i$ 是存在的。 + - 上面结果已经表明，存在系数落在 $k[x'_1, x'_2, ..., x'_r] subset A' := k[x'_1, x'_2, ..., x'_r, x_(r+1), ..., x_(n-1)]$ 之中的 $x_n$ 的首一零化多项式，也即 $x_n$ 在 $A'$ 上整。$A'$ 的生成元个数严格减少，因此可以归纳并假设存在 $y'_1, ..., y'_s$ 代数无关并且 $A'$ 在 $k[y'_1, ..., y'_s]$ 上整，进而由传递性 $x_n$ 在其上整，同时由 $x_i = x'_i + lambda_i x_n$ 及 $x'_i in A', i = 1, 2, ..., r$ 知 $x_i$ 也在其上整，$x_(r+1) ... x_n$ 当然也整，因此 $A$ 的所有生成元都在其上整，证毕 + - 对于第二个结论，注意到 $A = k[t_1, ..., t_n] quo I(X)$ 是有限生成 $k-$代数，由该题结论存在 $y_1 + I(X), ..., y_r + I(X) in A$ 满足上述的条件。\ + 由第一章的习题，这 $r$ 个多项式产生多项式映射 $Phi: k^n -> k^r$，往证 $Phi|_X$ 确实是满射。为此，任取 $y' in k^r$，令： + $ + funcDef(f_(y'), k[y_1 + I(x), y_2 + I(x), ..., y_r + I(x)], k, f(y_1, y_2, ..., y_r), f(y'_1, y'_2, ..., y'_r)) + $ + 不难验证这是一个 $k-$代数同态，由之前的习题它可以被提升到 $f'_(y') : A -> k$\ + 注意到 $f_(y')$ 是满射，$f'_(y')$ 自然也是，由同构定理不难得到 $ker f'_(y')$ 是极大理想。我们暂且利用希尔伯特零点定理，设其形如： + $ + ker f'_(y') = m_x = {f in A | f(x) = 0} + $ + 再取： + $ + f'_x : f: A -> f(x) : k + $ + 不难发现 $f'_x$ 与 $f'_(y')$ 都诱导 $A quo m_x tilde.eq k$ 的域自同构，结合它们都是 $k-$ 代数同态可得它们相等，立得： + $ + y'_i = f'_(y') (y_i) = y_i (x), forall i = 1, 2, ..., r + $ + 这就给出了 $x in X$ 成为 $y'$ 的原像，证毕 + + == 17 + 题干似乎应该是若设 $X = Z(alpha)$ 且 $alpha != (1)$ 则 $X$ 非空\ + 若这个事实成立，则极大理想 $alpha$ 对应的 $Z(alpha)$ 非空，结合极大性知只能是单点集，如此立得 $alpha = m_x$ 也即结论成立。\ + 然而看起来上面的事实并不容易从上题结论推出（何况上题第二个结论已经利用了希尔伯特零点定理的结果） + == 18 + #lemma1[ + 设 $A$ 是唯一分解整环，则 $A$ 是整闭的 + ] + #proof[ + 设 $x = a/b$ 位于 $A$ 的分式环中，不妨设 $a, b$ 互素。若它在 $A$ 上整，则： + $ + x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_0 = 0\ + (a/b)^n + a_(n-1) (a/b)^(n-1) + ... + a_0 = 0\ + a^n + a_(n-1) a^(n-1) b + ... + a_0 b^n = 0 + $ + 然而观察上式立得 $b | a$ ，除非 $x in A$ 否则这是荒谬的 + ] + 设 $B = k[x_1, x_2,..., x_n], A = k[x_1], k_A = k(x_1)$\ + 利用归纳法，$B$ 将是 $k_A$ 的有限代数扩张，假设 $x_1$ 在 $k$ 上代数则由传递性结论显然，否则 $A$ 当然是唯一分解整环，继而 $A$ 是整闭的。 + 由有限代数扩张，$x_2, ..., x_n$ 在 $k_A$ 上有首一的零化多项式。注意到这些系数都位于 $k(x_1)$ 之中，不妨设其公分母为 $f$，进而 $B$ 在 $A_f supset k_A$ 上整，然而 $A$ 整闭表明 $A_S$ 也整闭，这表明： + $ + A_f = k_A + $ + 然而注意到 $A$ 是整环，$A$ 可以嵌入 $A_f$ 继而 $A_f = A[1/f]$ 是有限生成 $A-$代数，但由 $x_1$ 的超越性 $k(x_1)$ 当然不是 $k[x_1]$ 的有限生成代数，矛盾！ + + + diff --git "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" index d42da78..d642b3c 100644 --- "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" +++ "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" @@ -1561,4 +1561,130 @@ &= - 1/2 (integral_(x_l^i - h_l)^(x_l^i ) u'(x) dif x - integral_(x_l^i )^(x_l^i + h_l ) u'(x) dif x)\ &= diffI(x_(l i), h_l) u(x) $ - ] \ No newline at end of file + ] + + #let lv = $bold(l)$ + 类似的，对于高维的情形我们也希望做类似处理。此时，我们用一个向量 $lv$ 表示在每个方向的划分层数（例如 $(2, 3)$ 表示 $x$ 方向划分两层，$y$ 方向划分三层）。高维情形下，有结论： + #lemma[][ + $ + hu_(lv, xv) = integral_(Omega) (-1/2)^(d) 2^(- norm(lv)_1) Phi_(lv, xv) (x) D^(bold(2)) u(x) dif x + $ + 其中： + - $D^(bold(alpha)) u(x) = (partial^(norm(alpha)_1) u)/(partial x_1^(alpha_1) ... partial x_n^(alpha_n))$ + ] + #proof[ + 它可以化归到一维情形，这里不做详细证明 + ] + + #let nv = $bold(n)$ + #let iv = $bold(i)$ + #let onev = $bold(1)$ + #let twov = $bold(2)$ + #let vninf = $V_n^((infinity))$ + #let vn1 = $V_n^((1))$ + 接下来，讨论全网格和稀疏网格。记： + $ + vninf &:= V_nv = plus.circle_(1 <= lv <= nv) w_lv = plus.circle_(norm(l)_infinity <= n) w_lv\ + where nv &= vec(n, n, dots.v, n)\ + 1& = vec(1, 1, dots.v, 1)\ + alpha <= beta &<=> alpha_i <= beta_i, forall i + $ + 这是全网格，而*稀疏网格*是： + $ + vninf = plus.circle_(norm(l)_1 <= d + (n-1)) w_lv + $ + 意指每个维度所分层数总和不超过一定的上界。 + + 仍然要回答网格是否稀疏，精度是否保持两个问题。稀疏性看起来比较简单，有如下结论： + #theorem[两种网格的稀疏性][ + $ + abs(vninf) = O(N^d)\ + abs(w_lv) = 2^(norm(lv)_1 - d)\ + abs(vn1) = O(N (log N)^(d-1))\ + where N = 2^n + $ + ] + #proof[ + - $vninf$ 的结论是容易的，既然在每个维度上都做 $2^n$ 等分 + - $w_lv$ 中，每个维度的基个数恰为 $2^(l_i)$ 的一半，计算可得就是 $2^(norm(lv)_1 - d)$ + - 最后来讨论 $vn1$，有： + $ + abs(vn1) = sum_(i <= d + (n-1)) 2^(i - d) C_(i - 1)^(d-1) + $ + 这个组合数来自于将 $norm(l)_1$ 的层数总和任意分给 $d$ 个维度的分球问题。大致估计有： + $ + sum_(i <= d + (n-1)) 2^(i - d) C_(i - 1)^(d-1) &<= sum_(i <= d + (n-1)) 2^(i - d) C_(d-1+n-1)^(d-1)\ + &= 2^n C_(d-1+n-1)^(d-1)\ + &= 2^n (n(n-1)...(n+d-2))/(d-1)! \ + &= O(2^n n^(d-1))\ + &= O(N (log N)^(d-1)) + $ + ] + #theorem[两种网格的精度][ + 给定性质足够好的函数 $u$ ，令： + $ + u_n^((infinity)) := sum_(norm(lv)_infinity <= n) u_(lv) (xv)\ + u_n^((1)) := sum_(norm(lv)_1 <= d+ n-1) u_(lv) (xv)\ + where u_lv (xv) = sum_(iv in oddl) hu_(lv iv) Phi_(lv iv) (xv) + $ + 则有： + $ + norm(u-u_n^((infinity)))_infinity <= d/6^d 2^(-2n) norm(u)_(twov, infinity)\ + norm(u-u_n^((1)))_infinity <= d/8^d 2^(-2n) A(d, n) norm(u)_(twov, infinity)\ + $ + 其中： + - $A(d, n)$ 的量级约为 $n^(d-1)$ + - $u$ 可以被展开为： + $ + u = sum_(lv in NN^d) u_(lv) + $ + - $norm(u)_(alpha, infinity) := norm(D^alpha u)_infinity$ + ] + #proof[ + #lemma1[ + $ + norm(u_lv)_infinity <= (-1/2)^(d) 2^(- 2norm(lv)_1) norm(u)_(twov, infinity) + $ + ] + #proof[ + $ + norm(u_lv)_infinity &= norm(sum_(iv in oddl) hu_(lv iv) Phi_(lv iv) (xv))_infinity\ + &<= max_(iv in odd l){abs(hu_(lv iv))} norm(sum_(iv in oddl) Phi_(lv iv) (xv))_infinity + $ + 回忆 $Phi_(lv iv)$ 的定义和嵌套分层方式，上式的求和不会大于 $1$，并且代入 @int_approx 将有： + $ + norm(u_lv)_infinity <= max_(iv in odd l){abs(hu_(lv iv))}\ + <= max_(iv in odd l){abs(integral_(Omega) (-1/2)^(d) 2^(- norm(lv)_1) Phi_(lv, xv) (x) D^(bold(twov)) u(x) dif x)}\ + <= (-1/2)^(d) 2^(- norm(lv)_1) max_(iv in odd l){abs(integral_(Omega) Phi_(lv, xv) (x) D^(bold(twov)) u(x) dif x)}\ + <= (-1/2)^(d) 2^(- norm(lv)_1) max_(iv in odd l){integral_(Omega) abs(Phi_(lv, xv) (x) D^(bold(twov)) u(x) dif x)}\ + <= (-1/2)^(d) 2^(- norm(lv)_1) norm(u)_(twov, infinity) max_(iv in odd l){integral_(Omega) abs(Phi_(lv, xv) (x) dif x)}\ + <= (-1/2)^(d) 2^(- norm(lv)_1) norm(u)_(twov, infinity) 2^(- norm(lv)_1)\ + <= (-1/2)^(d) 2^(- 2norm(lv)_1) norm(u)_(twov, infinity) \ + $ + 这里积分的计算是观察每一个维度上三角形的面积得到的。 + ] + - 回到定理，先证明全网格的形式。有： + $ + norm(u-u_n^((infinity)))_infinity &= norm(sum_(norm(lv) >= n) u_lv)_infinity\ + &<= sum_(norm(lv) >= n) norm(u_lv)_infinity\ + &<= sum_(norm(lv) >= n)(-1/2)^(d) 2^(- 2norm(lv)_1) norm(u)_(twov, infinity)\ + &<= (-1/2)^(d) norm(u)_(twov, infinity) sum_(norm(lv) >= n) 2^(- 2norm(lv)_1) \ + $ + 其中 $sum_(norm(lv) > n) 2^(- 2norm(lv)_1)$ 的多维的等比级数，交换顺序计算可得上式： + $ + <= 6^(-d) norm(u)_(twov, infinity) (1-(1-4^(-n))^d) <= 1/6^d 4^(-n) norm(u)_(twov, infinity) + $ + 上面利用了伯努利不等式，这就是结论 + - 再处理稀疏网格的形式，完全类似的过程有： + $ + norm(u-u_n^((1)))_infinity <= (-1/2)^(d) norm(u)_(twov, infinity) sum_(norm(lv)_1 >= d+(n-1)) 2^(- 2norm(lv)_1) + $ + 这里我们再次利用分球的组合技巧，有： + $ + sum_(norm(lv)_1 >= d+(n-1)) 2^(- 2norm(lv)_1) &= sum_(i >= d+(n-1)) 2^(- 2i) C_(i - 1)^(d-1)\ + &<= 4^(-n-d) dot 2 A(d, n) + $ + 这里 $A(d, n)$ 是与组合相关的函数，这里不再详细叙述。代回计算可得结论成立 + ] + 从上面的定理可以看出，稀疏网格理所应当的用精度的降低换来了效率的提升。 + \ No newline at end of file