From 8c5c9e6eaf549021d47a376aa98475860a2e681f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: yhtq <1414672068@qq.com>
Date: Mon, 22 Apr 2024 17:00:46 +0800
Subject: [PATCH] 4.22

---
 .../main.typ"                                 | 157 +++++++-
 .../\344\275\234\344\270\232/hw7.typ"         | 126 +++++++
 .../\344\275\234\344\270\232/hw8.typ"         | 337 ++++++++++++++++++
 .../main.typ"                                 |  31 +-
 .../\344\275\234\344\270\232/hw7.typ"         |  93 +++++
 .../main.typ"                                 | 144 +++++++-
 ...345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ" |  99 +++++
 .../main.typ"                                 | 122 ++++++-
 .../\344\275\234\344\270\232/hw5.typ"         |  48 +++
 9 files changed, 1134 insertions(+), 23 deletions(-)
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diff --git "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ"
index c2441c0..f38423e 100644
--- "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ"
+++ "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ"
@@ -2957,7 +2957,7 @@
     ]
     #proposition[][
       设 $A subset B$ 且 $B$ 在 $A$ 上整，则
-      - 任取 $B$ 的理想 $J, B sect J$ 在 $A quo (J sect A)$ 上整
+      - 任取 $B$ 的理想 $J, B quo J$ 在 $A quo (J sect A)$ 上整
       - 任取 $A$ 的乘性子集 $S, Inv(S) B$ 在 $Inv(S) A$ 上整 
     ]
     #proposition[][
@@ -3195,7 +3195,7 @@
     #proof[
       本门课程不会用到这些事实，不作证明
     ]
-  == 赋值环
+  == 赋值、赋值谱
     #definition[][
       设 $A$ 是环，$P$ 是全序阿贝尔群，称一个赋值是映射：
       $
@@ -3263,6 +3263,157 @@
         $
         其中后者是 $F_p$ 上的平凡赋值
     ]
+  == 赋值环
     #definition[dominate][
       设 $A subset B$ 是局部环，极大理想分别为 $m, n$，若 $n sect A = m$ 则称 $B$ 支配 $A$
-    ]
\ No newline at end of file
+    ]
+    #definition[valuation ring][
+      设 $A$ 是整环，$k$ 是分式域，称 $A$ 是 $k$ 的赋值环，如果以下等价条件成立：
+      + $forall x in k, x in B or Inv(x) in B$
+      + 存在全序阿贝尔群 $(Gamma, +)$ 和满同态 $nu: k^* -> Gamma$，并且满足：
+        $
+        nu(x + y) >= min(nu(x), nu(y))\
+        nu(x y) = nu(x) + nu(y)
+        $
+        并且 $B = {x in k | nu(x) >= 0}$
+        此时，称 $v$ 是 $B$ 的一个（加性）赋值
+      + $A$ 的主理想在包含关系下构成全序集
+      + $A$ 的所有理想在包含关系下构成全序集
+      + $A$ 是局部环并且每个有限生成理想是主理想
+      + $A$ 是局部环且不存在 $k$ 中的局部环支配 $B$
+      + 存在代数闭域 $L$ 以及同态 $theta: A -> L$（一般不是单射），并且 $A, theta$ 是极大的，也就是若 $A subset A' subset k, theta': A' -> L$ 是 $theta$ 的延拓，则 $A = A'$
+    ]<valuation-ring-cond>
+    #proof[
+      - 1 $=>$ 2 取 $Gamma = k^* quo B^*$，$nu$ 是自然映射，只需给出序结构。对于 $gamma, gamma' in Gamma$，有：
+        $
+        gamma <= gamma' <=> gamma - gamma' in im(B - {0} -> Gamma)
+        $
+        #TODO
+      - 2 $=>$ 1 显然
+      - 1 $=>$ 3\
+        断言 $A$ 的主理想与 $(B - {0}) quo B^*$ 有一一对应\
+        #TODO
+        2 的结论就给出其上的全序关系
+      - 4 $=>$ 3 显然
+      - 3 $=>$ 4 任取两个理想 $I_1, I_2$ ，设 $I_1 subset.not I_2$ ，往证 $I_2 subset I_1$\
+        任取 $a in I - J, b in J$，$a in.not J => (a) subset.not (b) subset J$，而由主理想的全序性必有 $(b) subset (a) subset I => b in I$，证毕
+      - 4 $=>$ 5 由理想的全序性，两个极大理想必然可比，当然只能有唯一一个极大理想。同时，设 $I = (x_1, x_2, ..., x_n)$ ，此时 $(x_1)$ 与 $(x_2, x_3, ..., x_n)$ 相互包含，因此可以去掉一个生成元，以此类推可以只剩下一个生成元，进而是主理想
+      - 5 $=>$ 1 设 $a, b in k != 0$, 往证 $a / b in A or b / a in A$\
+        设 $I = (a, b)$ 由条件它是主理想，因此 $I quo m I$ 是一维的线性空间，进而：
+        $
+        exists u, v in A, (u + m I) a + (v + m I) b = m I => u a + v b in m I
+        $
+        其中 $u, v$ 不全在 $m I$ 之中，继而可设：
+        $
+        exists x, y in m, u a + v b = x a + y b=> (u - x) a = (y - v) b
+        $
+        无妨设 $u in.not m$ ，然而局部环表明 $u$ 是单位。同时 $x in m$，因此 $u - x$ 不在 $m$ 中，也是单位，进而 $a = k b, k in A$ ，证毕
+      - 1 $=>$ 6 假设 $A'$ 是局部环，且 $A subset.neq A'$，往证 $A'$ 不支配 $A$，也就是存在 $A$ 中极大理想中的元素，在 $A'$ 中是单位（进而 $m_A subset.not m_(A') sect A$） \
+        取 $x in A' - A$，由条件 $Inv(x) in A subset A'$ ，因此 $x$ 在 $A'$ 中一定是单位\
+        此时，$Inv(x)$ 当然不是 $A$ 中的单位，但在 $A'$ 中是单位，证毕。
+      - 6 $=>$ 7 设 $K = A quo m$ 是留域，取 $L$ 是 $K$ 的代数闭包，$theta: A -> A quo m -> L$\
+        假设存在延拓 $A subset A' subset k, theta': A' -> L, theta'|_A = theta$\
+        显然，$ker theta = m$，设 $m' = ker(theta')$，则 $A'$ 可以嵌入 $A'_m'$ （注意到 $A'$ 是域的子环，当然是整环），此时只需证明 $A = A'_(m')$ 因此不妨设 $A'$ 是局部环，$m'$ 是极大理想\
+        显然，此时 $m = ker theta = ker theta' sect A = m' sect A$，利用条件 6 知结论成立
+      - 7 $=>$ 1 这步较为困难，需要建立若干个引理，之后会证明
+    ]
+    #example[][
+      - 满足 $dim = 1$ 的赋值环只有两种：离散赋值环（赋值在 $ZZ$ 上的赋值，一定是 Noether 的）和非离散的
+      - 设 $v: k(x, y) -> ZZ^2$ 并使用 $ZZ^2$ 上字典序，也即 $v(x) = (1, 0), v(y) = (0, 1)$\
+        此时 ${x | v(x) >= 0}$ 是赋值环
+      - 设 $k[x] subset k[x^(1/2)] subset ... subset k[x^(1/n)] subset ..$\
+        $
+        O_n = k[x^(1/2^n)]_(p_n) where p_n = (x^(1/2^n))
+        $
+        可以验证：
+        $
+        O_n subset O_(n+1), p_(n+1) sect O_n = p_n
+        $
+        设 $O = union_n O_n$ ，此时 $O$ 是非 Noether 的赋值环，赋值群是
+        $
+        {z/(2^n) | z in NN, n in NN}
+        $
+        的子群
+    ]
+    #proposition[][
+      设 $B$ 是赋值环，$k$ 是分式域，则：
+      - $B$ 是局部环
+      - 设 $B'$ 是环使得 $B subset B' subset k$，则 $B'$ 也是赋值环
+      - $B$ （在 $k$ 中）整闭
+      - 设 $p$ 是 $B$ 的素理想，则 $B quo p, B_p$ 在各自的分式域都是赋值环
+    ]
+    #proof[
+      - 之前已经证明，但是我们换一种方法再次证明。设 $m$ 是 $B$ 中所有非单位元，显然只需证明 $m$ 是理想。\
+        - 假设 $a in B, x in m$，若 $a x in.not m$，则 $Inv((a x)) in B => Inv(x) = a Inv((a x)) in B$ 矛盾！
+        - 假设 $x, y != 0 in m$ ，由定义 $x Inv(y) in B$ 或 $y Inv(x) in B$ ，不妨设前者成立，则：
+          $
+          x + y = y (1 + Inv(y) x) 
+          $
+          显然若 $x + y$ 可逆，则 $y$ 也可逆，矛盾！
+      - 设 $x in k$，显然：
+        $
+        x in B => x in B'\
+        Inv(x) in B => Inv(x) in B'\
+        $
+        至少有一个成立，因此 $B'$ 当然也是赋值环
+      - 设 $x in k$ 在 $B$ 上整，设 $f(x) = 0$，也即：
+        $
+        x^(n) + a_1 x^(n-1) + ... + a_n = 0\
+        x + a_1 + ... + a_n x^(-(n-1)) = 0\
+        x = -a_1 - ... - a_n x^(-(n-1))\
+        $
+        注意到若 $x in.not B$ 必有 $Inv(x) in B$，然而上式右侧全部是 $B$ 中元素，进而 $x$ 也是，矛盾！
+      - 简单验证即可 #TODO
+    ]
+    #theorem[赋值环的构造][
+      设 $k$ 是任意一个域，$Omega$ 是代数闭域，令：
+      $
+      Sigma = {(A, f) | A subset k "是子环", f in Hom(A, Omega)}
+      $
+      定义偏序关系：
+      $
+      (A, f) <= (A', f') <=> "存在交换图表："
+      $
+      #align(center)[#commutative-diagram(
+      node((0, 0), $A$, 1),
+      node((0, 1), $A'$, 2),
+      node((1, 0), $Omega$, 3),
+      arr(1, 2, $$, inj_str),
+      arr(2, 3, $f'$),
+      arr(1, 3, $f$),)]
+      则 $Sigma$ 非空且有极大元，且其极大元是赋值环 
+    ]
+    #proof[
+      首先，$Sigma$ 非空（可以取 $(0, 0)$），且满足 Zoun 引理条件，进而存在极大元\
+      设 $B$ 是一个极大元
+      #lemma1[
+         $B$ 是局部环，且 $m = ker(f)$ 是极大理想
+      ]
+      #proof[
+        设 $m =  ker(f)$，可以局部化得到 $B_m$，同时注意到：
+        $
+        f(B - m) subset U(Omega)
+        $
+        当然 $f$ 可以延拓到 $B_m$ 上，而由极大性得 $B_m = B$，证毕
+      ]
+      #lemma1[
+        任取 $x in k - {0}, B[x] subset k, m[x] := m B[x]$ ，则以下两者至少有一个成立：
+        - $m[x] subset.not B[x]$
+        - $m[Inv(x)] subset.not B[Inv(x)]$
+      ]
+      #proof[
+        如若不然，则两者同时成立，则由 $1 in B[x], B[Inv(x)]$ 得：
+        $
+        1 = sum_(i=0)^n u_i x^i, u_i in m\
+        1 = sum_(i=0)^m v_i x^(-i), v_i in m
+        $
+        不妨设 $m, n$ 各自最小且 $m >= n$，此时二式给出：
+        $
+        (1 - v_n) x^n = v_1 x^(n-1) +... + v_(n-1) x + v_n
+        $
+        注意到 $1-v_n$ 是单位，上式可以化成首一的多项式，进而和一式做带余除法将降低次数，与 $m, n$ 的极小性矛盾！
+      ]
+      回到定理的证明，往证 $x in B or Inv(x) in B$，由上面的引理不妨设 $m[x] != B[x] := B'$，则存在 $B'$ 的极大理想 $m'$ 使得 $m[x] subset m'$\
+      另一方面，我们证明 $f: B -> Omega$ 可以延拓到 $B' = B[x]$ 上即可\
+      首先，显然有 $m' sect B = m$（既然 $m subset m' sect B$ 而 $m$ 是极大理想），这表明 $B quo m$ 可以嵌入 $B' quo m'$，且 $B' quo m'$ 在 $B quo m$ 上代数
+    ]
diff --git "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw7.typ" "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw7.typ"
new file mode 100644
index 0000000..df00502
--- /dev/null
+++ "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw7.typ"
@@ -0,0 +1,126 @@
+#import "../../template.typ": proof, note, corollary, lemma, theorem, definition, example, remark, proposition,der, partialDer, Spec, AModule, lemma1, tensorProduct, directSum, directLimit
+#import "../../template.typ": *
+#import "@preview/commute:0.2.0": node, arr, commutative-diagram
+
+#show: note.with(
+  title: "作业5",
+  author: "YHTQ",
+  date: none,
+  logo: none,
+  withOutlined : false,
+  withTitle :false,
+)
+（应交时间为4月16日）
+#let Supp = math.op("Supp")
+#set heading(numbering: none)
+= p78
+  == 1
+    === i
+      注意到有递增子模链：
+      $
+      ker mu <= ker mu^2 <= ... <= ker mu^n <= ...
+      $
+      由条件知最终将稳定，可设 $ker mu^n = ker mu^(n+1)$，因此：
+      $
+      mu^(n+1) (m) = 0 <=> mu (mu^n (m)) = 0 <=> mu^n (m) = 0
+      $
+      然而 $mu$ 是满射，$mu^n$ 也是，进而上式表明 $ker mu = 0$，证毕
+    === ii
+      注意到有递降子模链：
+      $
+      M >= im mu >= im mu^2 >= ... >= im mu^n >= ...
+      $
+      由条件知最终稳定，可设 $im mu^n = im mu^(n+1) := M'$\
+      然而注意到：
+      $
+      im mu^n = mu(im mu^(n-1)) \
+      im mu^n = im mu^(n+1) = mu(im mu^(n))\
+      mu(im mu^(n-1)) = mu(im mu^(n)) => im mu^(n-1) = im mu^n
+      $
+      （最后利用了 $mu$ 是单射）\
+      这表明 $n$ 可以一直降低，最终说明 $im mu = M$，证毕
+  == 2
+    对 $M$ 的任意子模 $M'$，设：
+    $
+    Sigma = {M'' subset M' | M'' "是有限生成子模"}
+    $
+    条件表明它将有极大元。设极大元为 $M''$，然而往有限生成模中扩充任何元素都还是有限生成的，因此 $M''$ 只能为 $M'$，表明 $M$ 的所有子模都有限生成
+  == 3
+    由熟知的同构：
+    $
+    M quo N_1 times M quo N_2  tilde.eq M quo N_1 sect N_2 
+    $
+    及有限直积保持 Noether/Artin 知结论成立
+  == 4
+    此时必有 $M$ 有限生成，进而可设 $M = sum_i A x_i$，有：
+    $
+    Ann(M) = sect_i Ann(x_i)\
+    A quo Ann(M) tilde.eq product_i A quo Ann(x_i) tilde.eq product_i A x_i
+    $  
+    而 $A x_i$ 作为 Noether 模的子模有限生成，进而 $A quo Ann(x_i)$ 作为有限 $A-$代数是 Noether 的，作为环也是，由上题结论知结果成立
+
+    若 $M$ 是 Artin 的，结果当然未必，例如设 $p$ 是素数，则 $ZZ[1/p] quo ZZ$ 作为 $ZZ$ 模 Artin，并且没有非零零化子，但 $ZZ$ 不是 Artin 的
+  == 5
+    注意到子空间 $Y$ 中开集均形如 $A sect Y$，其中 $A$ 是 $Y$ 中开集，当然将满足升链条件。
+
+    为了证明拟紧，任取一族开覆盖 $union E = X$，考虑：
+    $
+    Sigma = {union E' | E' "是" E "的有限子集"}
+    $
+    $sigma$ 将是开集族，由升链条件，$Sigma$ 有极大元 $E'$，容易验证 $union E' = X$，否则可以再添加一个点的覆盖到 $E'$ 使得覆盖的空间更大，与极大性矛盾
+  == 6
+    == i) $=>$ iii)
+      已经证明每个子空间都 Noether，而 Noether 空间都拟紧，因此结论成立
+    == iii) $=>$ ii)
+      显然
+    == ii) $=>$ i)
+      任取开集的升链：
+      $
+      A_1 <= A_2 <= ... <= A_n <= ...
+      $
+      则 ${A_i}$ 构成开子空间 $union_i A_i$ 的开覆盖，将有有限开覆盖。由于这族开集是全序的，相当于只需一个 $A_n$ 即可覆盖，蕴含 $A_m = A_n, forall m >= n$，证毕
+  == 7
+    设 $Sigma$ 为所有不能写成有限个不可约分支的并的闭子空间，注意到这是一族闭集，假设它非空，由降链条件存在极小元 $Y$。\
+    显然 $Y$ 不是空集，任选 $x in Y$ 以及包含它的不可约分支 $Gamma subset Y$，则 $Y - Gamma$ 可写成有限个不可约分支的并，继而再加上 $Gamma$ 便将 $Y$ 写成了有限个不可约分支的并，矛盾！\
+    因此原集合是空集
+
+    进一步，设 $X = union_i X_i$，任取其中一个不可约分支 $C$，将有：
+    $
+    C = union_i (C sect X_i)
+    $
+    然而 $C$ 不能写成其中有限个非空闭集的并，继而：
+    $
+    exists i, C = C sect X_i
+    $
+    再由极大性，$C = X_i$，证毕
+  == 8
+    显然 $Spec(A)$ 中闭集都是 $V(alpha), alpha$ 是环中理想。理想的升链条件将导出闭集的降链条件，因此 $Spec(A)$ 是 Noether 的
+
+    反面不成立，例如令 $A = QQ[x_1, x_2, ..., x_n, ...] quo (x_1^2, x_2^2, ..., x_n^2, ...)$，注意到它当然不是 Noether 环，同时 $Spec(A)$ 同胚于 $Spec(A quo Re)$\
+    但另一方面，$A$ 中所有不是单位的元素都幂零，因此 $A quo Re tilde.eq QQ$ 是域，素谱是单点集，当然是 Noether 空间
+  == 9
+    前面已经证明了极小素理想与不可约分支的一一对应，因此结论成立
+  == 10
+    熟知 Noether 模有限生成，此时有：
+    $
+    Supp(M) = V(Ann(M))
+    $
+    因此确实是闭集，只需验证其中降链条件。事实上，若存在其中无穷下降的闭集链：
+    $
+    V(Ann(M)) := V(I_0) > V(I_1) > ... > V(I_n) > ...
+    $
+    当然有 $Ann(M) := I_0 < I_1 < ... < I_n$\
+    此时，将有上升的子模链：
+    $
+    0 = I_0 M <= I_1 M <= ... <= I_n M <= ...
+    $
+    注意到：
+    $
+    Supp(M quo I_n M) = V(I_n + Ann(M)) = V(I_n) 
+    $
+    因此 
+    $
+    I_n = I_(n+1) => Supp(M quo I_n M) = Supp(M quo I_(n+1) M) => V(I_n) = V(I_(n+1))
+    $
+    从而子模升链中每项严格上升，与 Noether 模条件矛盾！
+    
\ No newline at end of file
diff --git "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw8.typ" "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw8.typ"
new file mode 100644
index 0000000..a62f142
--- /dev/null
+++ "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw8.typ"
@@ -0,0 +1,337 @@
+#import "../../template.typ": proof, note, corollary, lemma, theorem, definition, example, remark, proposition,der, partialDer, Spec, AModule, lemma1, tensorProduct, directSum, directLimit
+#import "../../template.typ": *
+#import "@preview/commute:0.2.0": node, arr, commutative-diagram
+
+#show: note.with(
+  title: "作业8",
+  author: "YHTQ",
+  date: none,
+  logo: none,
+  withOutlined : false,
+  withTitle :false,
+)
+（应交时间为4月23日）
+#let Supp = math.op("Supp")
+#set heading(numbering: none)
+= p67
+  == 1
+    将 $phi$ 分解为 $i compose pi$，其中 $pi: A -> A quo ker phi$ 是商同态，$i: A quo ker phi tilde.eq im phi -> B$ 是嵌入，只需要分别验证 $i^*, pi^*$ 都是闭映射即可\
+    事实上，$pi$ 作为商映射，根据对应原理成为闭映射是容易的，只需验证 $i$ 是闭映射\
+    任取 $V(alpha) subset Spec(B)$ 是闭集，由于 $phi$ 是整同态， $i$ 当然也是，而 $i$ 是嵌入，利用熟知的结论可得 $i^*$ 是满射，前面的习题证明了 $overline(i^*(V(alpha))) = V(Inv(i)(alpha))$，只需证明 $V(Inv(i)(alpha)) subset i^*(V(alpha))$ 即可\
+    事实上：
+    $
+    p_A  in V(Inv(i)(alpha)) <=> Inv(i)(alpha) subset p_A\
+    $
+    既然 $B$ 在 $im phi$ 上整，自然有 $B quo alpha$ 在 $im phi quo Inv(i)(alpha)$ 上整，因此：
+    $
+    Inv(i)(alpha) subset p_A => overline(p_A) in Spec(im phi quo Inv(i)(alpha)) => exists overline(p_B) in Spec(B quo alpha), overline(Inv(i))(overline(p_B)) = overline(p_A)  
+    $
+    其中当然有 $p_B in V(alpha)$ 且 $i^*(p_B) = p_A => p_A in i^*(V(alpha))$，得证
+  == 2
+    #align(center)[#commutative-diagram(
+    node((0, 0), $A$, 1),
+    node((0, 1), $B$, 2),
+    node((1, 0), $A quo (ker f := p_A)$, 3),
+    node((1, 1), $B quo p_B$, 4),
+    arr(1, 2, $$, inj_str),
+    arr(1, 3, $$),
+    arr(2, 4, $$),
+    arr(3, 4, $$, inj_str),
+    node((3, -1), $Omega$, 5),
+    node((2, 0), $k_(A quo p_A)$, 6),
+    node((2, 1), $k_(B quo p_B)$, 7),
+    arr(1, 5, $f$),
+    arr(3, 5,$exists f_1$),
+    arr(3, 6, $$),
+    arr(4, 7, $$),
+    arr(6, 7, $$, inj_str),
+    arr(6, 5, $exists f_2$),
+    arr(7, 5, $exists f'$)
+    )]
+    其中：
+    - $p_A = ker f$ 当然是 $A$ 的素理想，因此存在 $p_B in Spec(B)$ 使得 $p_B sect A = p_A$ 并有第二层的交换图表和自然的嵌入 $f_1$
+    - $A quo p_A, B quo p_B$ 都是整环，$k_(A quo p_A), k_(B quo p_B)$ 是其上的分式域，$f_2$ 利用环到域的同态延拓到分式环上产生
+    - 利用 $Omega$ 是代数闭域和域中的同态延拓定理，$f_2$ 可被延拓到 $f'$
+    由于整个交换图表成立，不难验证 $(B -> B quo p_B -> k_(B quo p_B) -> Omega)$ 在 $A$ 上的限制就是 $f$，证毕
+  == 3
+    任取 $b' tensorProduct 1 in B' tensorProduct C$（当然 $B' tensorProduct C$ 中元素均形如 $b' tensorProduct c = c b' tensorProduct 1$，不妨就设为 $b' tensorProduct 1$），由于 $B'$ 在 $B$ 上整，故存在首一多项式使得：
+    $
+    b'^n + b_1 b'^(n-1) + ... + b_n = 0, b_n in B
+    $ 
+    将有：
+    $
+    (b' tensorProduct 1)^n + (b_1 tensorProduct 1) (b' tensorProduct 1)^(n-1) + ... + (b_n tensorProduct 1) = 0 tensorProduct 1 = 0
+    $
+    这就产生了一个 $b' tensorProduct 1$ 的首一零化多项式，系数均在 $B tensorProduct C$ 中，因此 $B tensorProduct C$ 在 $B' tensorProduct C$ 上整，得证
+  == 5
+    === i)
+      设 $Inv(x) in B$ 在 $A$ 上的零化多项式为：
+      $
+      x^(-n) + a_1 x^(-n+1) + ... + a_n = 0, a_n in A
+      $
+      从而有：
+      $
+      x^(-1) + a_1 + ... + a_n x^(n-1) = 0
+      $
+      上式除第一项外都在 $A$ 中，自然 $Inv(x)$ 也在，证毕
+    === ii)
+      由整性 $phi^*: Spec(B) -> Spec(A)$ 将诱导 $max(B) -> max(A)$ 上的满射，因此：
+      $
+      sect max(B) sect A = (sect_(m_B in max(B)) m_B) sect A = sect_(m_B in max(B)) m_B sect A \
+      = sect_(m_B in max(B)) phi^*(m_B) = sect_(m_A in max(A)) m_A = sect max(A)
+      $
+  == 7
+    任取 $x in B - A$，则：
+    - $x + A subset B - A$ ，否则不难得到 $x in A$，矛盾！
+    - $x(x + A) = x^2 + A x subset B - A$，既然 $B-A$ 对乘法封闭
+    - ...
+    - 以此类推，将有 $x^(n-1) + sum_(i=0)^(n-1) A x^i subset B - A$ 不可能为零，自然 $x$ 不可能存在首一零化多项式，证毕
+  == 8
+    === i)
+      取 $B$ 的分式域的代数闭包 $Omega$，并设 $f, g$ 在 $Omega$ 中被分解为：
+      $
+      f = product_(i=1)^n (x - a_i), g = product_(j=1)^m (x - b_j) 
+      $
+      注意到 $f g in C[x]$，因此 $a_i, b_i$ 都在 $C$ 上整，故 $f, g$ 的系数（它们都含于 $C[a_i], C[b_i]$）在 $C$ 上整。然而这些系数都在 $B$ 之中，且 $C$ 在 $B$ 中已经整闭，故当然系数都在 $C$ 中，得证
+    === ii)
+      设任取 $B$ 中素理想 $p$，则当然有：
+      $
+      A quo (p sect A) subset C quo (p sect C) subset B quo p
+      $
+      且都是整环，由上题结论得 $overline(f), overline(g)$ 的所有系数落在 $A quo (p sect A)$ 的整闭包中，进而在其上整。\
+      #lemma1[
+        设 $x in B$ 且任取素理想 $p in Spec(B)$ 均有 $overline(x) in B quo p$ 在 $A quo (p sect A)$ 上整，则 $x$ 在 $A$ 上整
+      ]
+      #proof[
+        令:
+        $
+        S = {f(x) | f in A[x] "首一"} subset B
+        $
+        它将是 $B$ 的乘性子集，注意到 $Inv(S) B$ 一定有素理想，因此 $B$ 中一定有与 $S$ 不交的素理想 $p$，然而条件给出：
+        $
+        exists a_i, x^n + (a_i + p) x^(n-1) + ... + (a_n + p) in p\
+        x^n + a_i x^(n-1) + ... + a_n in p
+        $
+        当然与假设矛盾
+      ]
+      由引理，结论立即成立
+  == 9
+    设 $f in B[x]$ 在 $A[x]$ 上整，则：
+    $
+    f^n + a_(1) f^(n-1) + ... + a_(n) = 0, a_(n) in A[x]\
+    $
+    设 $f = x^r + f'$，则：
+    $
+    (x^r + f')^n + a_(1) (x^r + f')^(n-1) + ... + a_(n) = 0\
+    f'^n + a'_(1) f'^(n-1) + ... + a'_(n) = 0\
+    -f'(f'^(n-1) + a'_(1) f'^(n-2) + ... + a'_(n-1)) = a'_(n)
+    $
+    当 $r$ 足够大时，$a'_n$ 的首项为 $x^(r n)$ 因此首一，利用上题结论可得 $f$ 的系数在 $A$ 上都是整的，也即 $f in C[x]$，证毕
+  == 10
+    === i)
+      ==== a $=>$ b
+        只需证明设 $p_1 subset p_2, p_1 = f^*(q_1)$ 则存在 $q_2 supset q_1$ 使得 $p_2 = f^*(q_2)$\
+        前面的习题证明了 $overline(f^*(V(q_1))) = V(Inv(f)(q_1))$，因此 $f$ 是闭映射表明：
+        $
+        f^*(V(q_1)) = V(Inv(f)(q_1)) = V(p_1)
+        $
+        由于 $p_2 in V(p_1)$，当然有 $exists q_2 in V(q_1), f^*(q_2) = p_1$，得证
+      ==== b $=>$ c
+        任取 $p' A quo p in Spec(A quo p)$，则 $p'$ 是包含 $p$ 的素理想，由 going up 性质知存在 $q' supset q$ 使得:
+        $
+        f^*(q') = p'
+        $
+        观察交换图表：
+        #align(center)[#commutative-diagram(
+        node((0, 0), $A$, 1),
+        node((0, 1), $B$, 2),
+        node((1, 0), $A quo p$, 3),
+        node((1, 1), $B quo q$, 4),
+        arr(1, 2, $f$),
+        arr(1, 3, $$),
+        arr(2, 4, $$),
+        arr(3, 4, $overline(f)$),)]
+        将有：
+        $
+        Inv(f)(Inv((B -> B quo q))(q' B quo q)) = Inv(f)(q') = p'\
+        p' = Inv(f)(Inv((B -> B quo q))(q' B quo q)) = Inv((A -> A quo p))(overline(f^(-1))(q' A quo p)) \
+        p' A quo p = overline(f^(-1))(q' A quo p)
+        $
+        证毕
+      ==== c $=>$ b
+        只需证明设 $p_1 subset p_2, p_1 = f^*(q_1)$ 则存在 $q_2 supset q_1$ 使得 $p_2 = f^*(q_2)$\
+        在满射 $overline(f)^*: Spec(B quo q_1) -> Spec(A quo p_1)$ 中，取 $overline(f)^*(q_2) = p_2$，由类似上面的过程可以证明 $f^*(q_2) = p_2$
+  === ii)
+    ==== a $=>$ c
+      利用：
+      $
+      B_q = union_(x in B - q) B_x = directLimit B_x\
+      f^*(Spec(B_q)) = sect_(x in B - q) f^*(Spec(B_x)) 
+      $
+      然而 $Spec(B_x)$ 是（$Spec(B)$ 中）包含 $q$ 的开集，以及 $f^*$ 是开映射，因此 $f^*(Spec(B_x))$ 是包含 $f^*(q) = p$ 的开集 $Spec(A) - V(alpha), alpha subset.not p$，显然 $V(alpha)$ 中没有含于 $p$ 的理想，因此前式一定包含 $Spec(A_p)$，证毕
+    ==== b $<=>$ c
+      与之前类似，可以证明 $Spec(B_q) -> Spec(A_p)$ 是满射当且仅当 $forall p' in Spec(A), p' subset p => exists q' subset q, f^*(p') = q'$，由 $p, q$ 的任意性这就是 going down 性质
+  == 11
+    验证上题中的 c'，设 $p = Inv(f)(q)$ ，考虑诱导的 $f': A_p -> B_q$ 也是平坦同态。事实上，注意到 $A -> B -> B_q$ 由传递性平坦，而：
+    $
+    Inv((A - p)) (A -> B -> B_q) = A_p -> Inv((A - p)) B_q = A_p -> B_q = f'
+    $
+    由局部化函子的正合性也是平坦同态\
+    熟知局部环之间的平坦同态一定忠实平坦，继而 $Spec(B_q) -> Spec(A_p)$ 是满射，得证
+  == 12
+    任取 $x in A$ ，设：
+    $
+    f(t) = product_(sigma in G) (t - sigma(x))  
+    $
+    不难验证 $f(x) = 0$ 且任取 $sigma in G, sigma(f) = f$，因此 $f$ 的系数都在 $A^G$ 之中，这就是所求的首一零化多项式
+
+    有交换图表：
+    #align(center)[#commutative-diagram(
+    node((0, 0), $A$, 1),
+    node((0, 1), $A$, 2),
+    node((1, 0), $Inv(S) A$, 3),
+    node((1, 1), $Inv(S) A$, 4),
+    arr(1, 2, $sigma$),
+    arr(1, 3, $$),
+    arr(2, 4, $$),
+    arr(3, 4, $sigma'$),)]
+    其中 $sigma'$ 来自于 $A -> A -> Inv(S) A$ 由局部化产生的延拓，为此验证：
+    $
+    (A -> A -> Inv(S) A)(S) = (A -> Inv(S) A)(sigma(S)) subset (A -> Inv(S) A)(S) subset U(Inv(S) A)
+    $
+    因此延拓确实存在\
+    注意到 $S^G$ 当然也满足 $sigma(S^G) = S^G$ 因此有：
+    #align(center)[#commutative-diagram(
+    node((0, 0), $A$, 1),
+    node((0, 1), $A$, 2),
+    node((1, 0), $Inv(S^G) A$, 3),
+    node((1, 1), $Inv(S^G) A$, 4),
+    node((2, 0), $Inv(S) A$, 5),
+    node((2, 1), $Inv(S) A$, 6),
+    arr(1, 2, $sigma$),
+    arr(1, 3, $$),
+    arr(2, 4, $$),
+    arr(3, 4, $sigma''$),
+    arr(3, 5, $$),
+    arr(4, 6, $$),
+    arr(5, 6, $sigma'$),
+    
+    )]
+    此外，不难验证：
+    $
+    (sigma'' compose (A -> Inv(S^G) A))|_(A^G) = ((A -> Inv(S^G) A) compose sigma)|_(A^G) = A^G -> Inv(S^G) A^G
+    $
+    换言之，$sigma''|_(Inv(S^G) A^G)$ 是 $(Inv(S^G)) A^G$ 上的自同态，且有：
+    #align(center)[#commutative-diagram(
+    node((0, 0), $A^G$, 1),
+    node((0, 1), $A^G$, 2),
+    node((1, 0), $Inv(S^G) A^G$, 3),
+    node((1, 1), $Inv(S^G) A^G$, 4),
+    arr(1, 2, $id$),
+    arr(1, 3, $$),
+    arr(2, 4, $$),
+    arr(3, 4, $sigma''|_(Inv(S_G) A^G)$),)]
+    由局部化延拓的唯一性知 $sigma''|_(Inv(S_G) A^G) = id$\
+    类似也可以证明 $sigma'|_(Inv(S) A^G) = id$，由 $sigma$ 的任意性当然就有：
+    $
+    im((Inv(S^G)) A^G -> Inv(S) A) subset (Inv(S) A)^G
+    $
+    反过来也可以证明：
+    $
+    //sigma'|_((Inv(S) A)^G) = id => sigma''|_(Inv(((Inv(S^G)) A^G -> Inv(S) A)) (Inv(S) A)^G) = id
+    sigma'|_((Inv(S) A)^G) = id => sigma|_(Inv((A-> Inv(S) A)) ((Inv(S) A)^G)) = id
+    $
+    由任意性可知：
+    $
+    (Inv((A-> Inv(S) A)) ((Inv(S) A)^G)) subset A^G \
+    => (Inv(S) A)^G subset Inv(S) A^G = im((Inv(S^G)) A^G -> Inv(S) A)
+    $
+    因此 $(Inv(S^G)) A^G -> (Inv(S) A)^G$ 构成满射，只需证明它也是单射。\
+    为此，设 $a'/s' in (Inv(S^G)) A^G$ 在 $Inv(S) A$ 中为零，即：
+    $
+    exists s in S, a' s = 0
+    $
+    立刻有：
+    $
+    a' product_(sigma in G) sigma(s) = 0 
+    $
+    而 $product_(sigma in G) sigma(s) in S'$，可得 $a'/s' = 0$，证毕
+  == 13
+    任取 $p_1, p_2 in P, x in p_1$，注意到：
+    $
+     product_(sigma in G) sigma(x) in A^G sect p_1 = p subset p_2
+    $
+    由素理想定义存在某个 $sigma$ 使得 $sigma(x) in p_2$，因此：
+    $
+    union_(sigma in G) sigma(p_1) supset p_2
+    $
+    注意到 $p_2$ 是素理想，由 prime avoidance lemma 知存在 $sigma in G$ 使得 $sigma(p_1) supset p_2$\
+    为了证明 $sigma(p_1) = p_2$，注意到：
+    $
+    sigma(p_1) sect A^G = sigma(p_1 sect Inv(sigma)(A^G)) = sigma(p_1 sect A^G) = p = p_2 sect A^G
+    $
+    结合 $A$ 在 $A^G$ 上整以及 $sigma(p_1) supset p_2$ 知它们取等，证毕
+  == 14
+    为了证明 $sigma(B) = B$，首先 $A = sigma(A) subset sigma(B)$,断言：
+    - $sigma(B)$ 当然在 $L$ 中整闭，否则设 $x in L - sigma(B)$ 使得：
+      $
+      x^n + sigma(b_1) x^(n-1) + ... + sigma(b_n) = 0\
+      (Inv(sigma)(x))^n + b_1 (Inv(sigma)(x))^(n-1) + ... + b_n = 0 
+      $ 
+      由 $B$ 整闭知 $Inv(sigma)(x) in B, x in sigma(B)$，矛盾！
+    - $sigma(B)$ 在 $A$ 上整，因此任取 $sigma(x) in sigma(B)$，由 $B$ 的整性存在：
+      $
+      x^n + a_1 x^(n-1) + ... + a_n = 0\
+      sigma(x)^n + sigma(a_1) sigma(x)^(n-1) + ... + sigma(a_n) = 0\
+      sigma(x)^n + a_1 sigma(x)^(n-1) + ... + a_n = 0\
+      $
+      当然就表明 $sigma(x)$ 在 $A$ 上整\
+    由整闭包的唯一性知 $sigma(B) = B$
+
+    对于第二个命题，首先当然有 $A subset B^G$，其次由域论知识得：
+    $
+    B^G = B sect L^G = B sect K subset K
+    $
+    并且 $B^G$ 当然在 $A$ 上整，由 $A$ 的整闭性知 $B^G subset A$，证毕
+  == 15
+    - 设 $L quo K$ 是可分扩张，则只需要取其正规闭包 $L'$，对 $L' quo K$ 利用上题结论立得：
+      $
+      B^(Gal(L' quo K)) = A
+      $
+      再利用之前的结论即可得到所求有限性
+    - 设 $L quo K$ 是纯不可分扩张，设 $q in Spec(B), p in Spec(A)$ 满足 $q sect A = p$\
+      注意到 $B$ 中任意元素都是纯不可分元，其最小多项式形如：
+      $
+      x^(r^n) - a = 0, a in K, r = char(K)
+      $
+      结合 $B$ 在 $A$ 上整，$A$ 在分式域中整闭，可得上式中 $a in A$\
+      下设 $x in q$，则：
+      $
+      x^(r^n) = a in q sect A = p
+      $
+      令 $q_p = {x in B | exists n in NN, x^(r^n) in p}$，往证 $q_p = q$
+      - 首先，容易验证 $q'$ 是素理想（乘法是简单的，加法只需注意到 $(x + y)^(r^n) = x^(r^n) + y^(r^n)$）
+      - 其次，往证若 $x^(r^n) in p$，则其最小多项式形如 $x^(r^m) - a, a in p$\
+        事实上，首先由最小性知 $m <= n$，继而：
+        $
+        x^(r^n) = (x^(r^m))^(r^(n-m)) in p
+        $
+        由于 $p$ 是素理想，当然有 $x^(r^m) in sqrt(p) = p$，得证
+      - 进一步，断言它是素理想，因为设 $x y in q$，分别设三个最小多项式:
+        $
+        x^(r^n) = a_1 in A\
+        y^(r^m) = a_2 in A\
+        (x y)^(r^(t)) = a in p
+        $
+        不妨设 $m <= n$，继而：
+        $
+        (x y)^(r^n) = x^(r^n) (y^(r^m))^(r^(n - m)) = a_1 a_2^(r^(n-m)) in A  
+        $
+        由最小性，$a_1 a_2^(r^(n-m))$ 一定是 $a$ 的次幂，进而 $a_1 a_2^(r^(n-m)) in p$，结合素理想定义一定有 $a_1 in p or a_2 in p$，得证
+      - 最后，$q subset q_p$ 是显然的，而 $q sect A = p, q_p sect A = sqrt(p) = p$，由 $B$ 在 $A$ 上整立得 $q = q_p$
+      注意到以上构造对任何素理想都成立，因此 $Spec(B) -> Spec(A)$ 是双射\
+    - 一般的，设 $L' subset L$ 是 $K$ 的可分闭包（此时 $L quo L'$ 是纯不可分扩张），$B'$ 是 $A$ 在 $L'$ 中的整闭包，$B$ 是 $B'$ 在 $L$ 中的整闭包（由传递性也是 $A$ 的整闭包），任取 $q in Spec(A)$，若 $p in Spec(B)$ 使得 $p sect A = q$，则：
+      $
+      q = (p sect B') sect A
+      $
+      由可分的情形，这样的 $p sect B'$ 至多只能有有限个，而对每个 $p sect B'$ 由纯不可分的情形将可以唯一确定一个 $p$，因此结论成立
diff --git "a/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/main.typ" "b/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/main.typ"
index e1d6c51..c0f73ef 100644
--- "a/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/main.typ"
+++ "b/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/main.typ"
@@ -912,19 +912,24 @@
     注意到 $delta$ 可以任意小，因此上式右侧可以任意小，进而得证
   ]
   #theorem[Cauthy 3][
-    设 $G$ 是有界区域，其边界是有限多条光滑曲线。$f$ 在区域的闭包上解析，则 $f$ 可在 $G$ 上可以表示为级数，且该级数的收敛半径至少为 $G$ 的最大半径\
-    特别的，$f$ 无穷阶可导
+    设 $G$ 是开球 $B(a, r)$ ，$f$ 在 $G$ 上解析，则 $f$ 有级数表达：
+    $
+    f(z) = sum_(n=0)^(+infinity) a_n (z - a)^n
+    $ 
+    且级数的收敛半径至少为 $r$
   ]
   #proof[
-    不妨设将 $f$ 延拓到更大的区域上，我们有：
+    无妨设 $a = 0$ 我们有：
     $
     f(z) = 1/(2 pi i)integral_(diff G)^() f(w)/(w - z) dif w\
     = 1/(2 pi i)integral_(diff G)^() - 1/w f(w)(sum_(k=0)^infinity (z/w)^k ) dif w\ 
-    = z^k sum_(k=0)^infinity 1/(2 pi i)integral_(diff G)^() - 1/w f(w) 1/w^k dif w\
+    = sum_(k=0)^infinity (1/(2 pi i)integral_(diff G)^() - 1/w f(w) 1/w^k dif w) z^k\
     $
     不难看出上式右侧恰为幂级数，得证
   ]
-
+  #corollary[][
+    开集上的解析函数无穷阶可导
+  ]
 = 整函数与解析函数的基本定理
   == 基本定理
     #definition[整函数][
@@ -1167,7 +1172,13 @@
       $
       注意到 $alpha in.not sigma$，故存在 $alpha$ 的开邻域 $B_alpha$ 与 $gamma$ 不交，这个邻域当然属于 $sigma$ 分割出的同一个连通分支，进而缠绕数是常数。事实上，有：
       $
-      forall beta in B_a,  m = n(sigma, alpha) = n(sigma, beta)
+      n(sigma, alpha) = n(sigma, beta)
+      $
+      然而：
+      $
+      n(sigma, alpha) &= integral_(f compose gamma)^() 1/(z - alpha)  dif z \
+      &= 1/(2 pi i) integral_(gamma)^() 1/(f(z) - alpha) f'(z) dif z\
+      &= m
       $
       取 $G = B(a, 2 epsilon)$，应用之前的定理得：
       $
@@ -1485,7 +1496,7 @@
       - 由前两者可得
     ]
     #theorem[][
-      设 $a$ 是 $f$ 的孤立本性奇点，则对任意 $epsilon > 0$，只要 $f$ 在 $B(0, epsilon)$ 解析，都有 $f(B(a, epsilon))$ 在 $CC$  中稠密
+      设 $a$ 是 $f$ 的孤立本性奇点，则对任意 $epsilon > 0$，只要 $f$ 在 $B(a, epsilon) - {a}$ 解析，都有 $f(B(a, epsilon) - {a})$ 在 $CC$  中稠密
     ]<C-W>
     #proof[
       如若不然，设 $b in CC$ 不是 $Inv(f)(B(a, epsilon))$ 的极限点，继而存在邻域 $B'$ 与 $B$ 不交\
@@ -1501,7 +1512,7 @@
       不难发现 $a$ 要么是 $f$ 的可去奇点，要么是极点，矛盾！
     ]
     #theorem[Picard 大定理][
-      设 $a$ 是 $f$ 的孤立本性奇点，则对任意 $epsilon > 0$，只要 $f$ 在 $B(0, epsilon)$ 解析，都有 $CC - f(B(a, epsilon))$ 中至多只有一个点
+      设 $a$ 是 $f$ 的孤立本性奇点，则对任意 $epsilon > 0$，只要 $f$ 在 $B(a, epsilon) - {a}$ 解析，都有 $CC - f(B(a, epsilon) - {a})$ 中至多只有一个点
     ]
     #proof[
       它的证明颇为复杂，这里不证明
@@ -1539,7 +1550,7 @@
     ]
     #theorem[][
       设 $f, g$ 是 $Omega$ 上的亚纯函数，若存在集合 $S$ 使得：
-      - $f|S = g|S$
+      - $f|_S = g|_S$
       - $S$ 在 $Omega$ 上有聚点
       则 $f = g$
     ]
@@ -1548,7 +1559,7 @@
       显然 $h(x) = 0$，由连续性知存在一个邻域使得其中没有 $h$ 的奇点，$h$ 成为一般的解析函数，而这样的函数零点集有聚点除非恒零，故 $h = 0$，由 $Omega$ 的连通性知结论成立
     ]
     #theorem[][
-      $f: Omega -> C union infinity$ 在 $Omega$ 内部的紧集上仅有有限多个奇点
+      亚纯函数 $f: Omega -> C union infinity$ 在 $Omega$ 内部的紧集上仅有有限多个奇点
     ]
     #proof[
       如果有无穷多个奇点，则将有聚点。由连续性极点的聚点还是极点，这与极点的孤立性矛盾！
diff --git "a/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/\344\275\234\344\270\232/hw7.typ" "b/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/\344\275\234\344\270\232/hw7.typ"
new file mode 100644
index 0000000..c89514e
--- /dev/null
+++ "b/\345\244\215\345\217\230\345\207\275\346\225\260/\344\275\234\344\270\232/hw7.typ"
@@ -0,0 +1,93 @@
+#import "../../template.typ": proof, note, corollary, lemma, theorem, definition, example, remark, proposition,der, partialDer, Spec, seqLimit, seqLimitn
+#import "../../template.typ": *
+// Take a look at the file `template.typ` in the file panel
+// to customize this template and discover how it works.
+#show: note.with(
+  title: "作业7",
+  author: "YHTQ",
+  date: none,
+  logo: none,
+  withOutlined : false,
+  withTitle :false,
+)
+#set heading(numbering: none)
+（应交时间为4月19日）
+= p87
+  == 5
+    设：
+    $
+    F(z) = integral_(gamma)^() 1/(w-z) dif w
+    $
+    显然 $F(z) = n(gamma, z)$，由缠绕数的概念易知 $F'(z) = 0$\
+    另一方面，有：
+    $
+    0 = F^((n))(z) = integral_(gamma)^() n!/(w-z)^(n+1) dif w
+    $
+    故结论成立
+  == 8
+    注意到：
+    $
+    0 = integral_(gamma)^() f_i (z) dif z
+    $
+    其中 $gamma$ 是任意绕 $a$ 的简单闭曲线，在上式中令 $i -> +infinity$ 并利用一致收敛性保证积分与极限交换顺序可得：
+    $
+    0 = integral_(gamma)^() f(z) dif z
+    $
+    这对所有区域内的简单闭曲线都成立，且 $f$ 的连续性是熟知的，由 Morera 定理可知 $f$ 是解析的
+  == 9
+    由 Morera 只需证明对于任意包裹 $[-1, 1]$ 的简单闭曲线都有：
+    $
+    integral_(gamma)^() f(z) dif z = 0
+    $
+    即可\
+    事实上，任取这样一条曲线，都可以连续地变换到其他包含 $[-1, 1]$ 的曲线，且这样的变换根据柯西积分定理不改变积分值，因此可以让 $gamma$ 充分靠近 $[-1,1]$\
+    任取 $epsilon > 0$，由于 $f$ 的连续性应当在紧集：
+    $
+    D := [-2, 2] times [-1, 1]
+    $
+    上一致连续并有上界 $M$，进而存在 $delta > 0$ 使得 $forall x, y in D, norm(x - y) <= 2delta => norm(f(x) - f(y)) < epsilon$\
+    由 Morera 只需证明对于区域 $D$ 内任意三角形 $Delta$ 均有：
+    $
+    integral_(Delta)^() f(z) dif z = 0
+    $
+    即可
+    - 若 $Delta$ 在 $[-1, 1]$ 的外部且与之不交，则结论显然
+    - 否则，三角形可以连续收缩到一个与 $[-1, 1]$ 相交或包含它的梯形 $S$，使得 $S$ 的上底和下底与 $RR$ 平行且：
+      $
+      S subset [-1 - delta, 1 + delta] times [-delta', delta']
+      $
+      其中 $0 < delta' < delta$ 是任取的\
+      更进一步，将梯形分为内部最大的正方形和两个三角形，分别计算在这些图形边界上的积分即可
+      - 先考虑三角形，显然这个三角形是某个内角为原三角形某个内角 $theta$ 的直角三角形，且 $y$ 方向的直角边长度小于 $2 delta'$，进而周长小于 $k delta'$，其中 $k$ 与 $delta, delta'$ 都无关，是只与 $theta$ 有关的常数，因此两个三角形上的积分有估计式：
+        $
+        norm(integral_(Delta'_1 + Delta'_2) f(z) dif z) <= k' M delta'
+        $
+      - 再考虑矩形，设其上底为 $[a, b] times {c_1}$，下底为 $[a, b] times {c_2}$，矩形上的积分就是：
+        $
+        integral_(a)^(b) f(t + c_1 i) dif t + integral_(c_1)^(c_2) f(b + s i) dif s + integral_(b)^(a) f(t + c_2 i) dif t + integral_(c_2)^(c_1) f(a + s i) dif s
+        $
+        其中：
+        $
+        norm(integral_(c_1)^(c_2) f(b + s i) dif s + integral_(c_2)^(c_1) f(a + s i) dif s) &<= 2 abs(c_2 - c_1) M <= 2 delta' M\
+        norm(integral_(a)^(b) f(t + c_1 i) dif t + integral_(b)^(a) f(t + c_2 i) dif t)
+        &= norm(integral_(a)^(b) f(t + c_1 i) - f(t + c_2 i) dif t)\
+        &<= integral_(a)^(b) norm(f(t + c_1 i) - f(t + c_2 i)) dif t\
+        &<= integral_(a)^(b) epsilon dif t\
+        &= epsilon (b - a)\
+        &<= 4 epsilon
+        $
+      注意到上面所有式子中可以让 $delta', epsilon$ 任意小而不影响其它常数，因此原三角形上的积分就是零，得证
+= p99
+  == 1
+    设 $C subset G$ 是包含 $gamma$ 的闭区域，可设 $f, f'$ 在其上有上界 $M$\
+    任给一个 $[0 ,1]$ 的分划 $0 = x_0 < x_1 < ... < x_n = 1$，则：
+    $
+    &sum_(i=0)^(n-1) norm(f(gamma(x_(i+1))) - f(gamma(x_i))) \
+    &= sum_(i=0)^(n-1) norm(integral_(x_i)^(x_(i+1)) f(gamma(t)) dif t)\
+    &<= sum_(i=0)^(n-1) integral_(x_i)^(x_(i+1)) norm(f(gamma(t))) dif t\
+    &<= sum_(i=0)^(n-1) M integral_(x_i)^(x_(i+1)) 1 dif t\
+    &= M v(gamma)
+    $
+    表明 $f compose gamma$ 的有界变差有上界，当然意味着可求长
+  == 4
+    假设 $f'(a) = 0$，不妨通过平移令 $f(a) = 0$，此时 $a$ 是 $f$ 的二重零点，由本节引理知存在某个 $xi$ 使得 $a$ 周围将存在 $2$ 个不同点使得 $f(z) = xi$，这与 $f$ 是单射矛盾！
\ No newline at end of file
diff --git "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ"
index e1f20e0..ec5277d 100644
--- "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ"
+++ "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ"
@@ -147,7 +147,7 @@
       $
       p(x, y) f(x, y) dif x + q(x, y) f(x, y) dif y = 0
       $
-      则称 $f(x, y)$ 为@proper 的积分因子
+      是恰当形式，则称 $f(x, y)$ 为@proper 的积分因子
     ]
     #example[][
       $
@@ -1132,14 +1132,14 @@
       所有的解都可以延拓到 $(a, b)$
     ]
     #proof[
-      #lemma1[
+      #lemma[][
         两个微分方程：
         $
         der(y, x) = A(x) abs(y) + B(x)\
         der(y, x) = - A(x) abs(y) - B(x)
         $
         过任意点的解存在唯一，且解的存在区间都是 $(a, b)$ 
-      ]
+      ]<linear_all_range>
       #proof[
         存在唯一性是容易的。对于存在区间，只证明第一个方程\
         显然它的解单调递增，若解的存在区间不是 $(a, b)$ ，则必然在某点 $x_0 in (a, b)$ 处的左/右极限为 $+\/minus infinity$，不妨设为左极限为正无穷\
@@ -1397,7 +1397,7 @@
       $
       cases(
         F(x, phi(x), phi'(x)) = 0,
-        partialDer(F, y) (x, phi(x), phi'(x)) = 0
+        partialDer(F, y') (x, phi(x), phi'(x)) = 0
       ) <=> y = psi(x)
       $
       （事实上，也就是 $Delta(x, y)$ 是原方程的解）\
@@ -1479,12 +1479,13 @@
       $
       cases(
         F(x, phi(x), phi'(x)) = 0,
-        partialDer(F, y) (x, phi(x), phi'(x)) = 0
+        partialDer(F, y') (x, phi(x), phi'(x)) = 0
       ) <=> y = psi(x)
       $
       若：
       $
-      (diff^2 F)/(diff p^2) (x, psi(x), psi'(x)) != 0
+      (diff^2 F)/(diff p^2) (x, psi(x), psi'(x)) != 0\
+      partialDer(F, y) (x, phi(x), phi'(x)) != 0
       $
       则 $psi$ 是奇解
     ]
@@ -1847,9 +1848,8 @@
       $
       解出 $u(x, 0) = e^(2 x) - x - 1$
     ]
-= 自治系统
-  本章的内容是从理论上研究微分方程。
   == 局部变换
+    本章的内容是从理论上研究微分方程。
     #definition[自治系统][
       自治系统是指形如：
       $
@@ -1942,4 +1942,130 @@
       sum_(i = 1)^n m_i lambda_i != 0, (m_i) in ZZ^n - {0} 
       $
       则方程 $x' = f(x)$ 在 $0$ 处局部 $C^infinity$ 等价于 $x' = A x$
-    ]
\ No newline at end of file
+    ]
+= 线性微分方程
+  == 一般线性微分方程
+    方便起见，这里约定对向量/矩阵的求导/积分都是逐元素进行的
+    #definition[][
+      设 $x in RR^n, t in RR$\
+      称微分方程：
+      $
+      der(x, t) = A(t) x + B(t)
+      $<linear-equation>
+      为一般线性微分方程，如果 $A, B$ 都关于 $t$ 连续
+    ]
+    #proposition[][
+      - 一般线性微分方程在任何点处的解都存在唯一
+      - 每个解总是在大范围存在
+    ]
+    #proof[
+      - 就是 @peano 
+      - 就是 @linear_all_range
+    ]
+    一般而言，当 $A(t)$ 不是常数时，方程是无法写出解的。我们的目标是研究解空间的性质。
+  == 齐次线性微分方程
+    #definition[][
+      在 @linear-equation 中，若 $B(t) = 0$，则称之为齐次微分方程
+    ]
+    #proposition[][
+      - 齐次线性方程的解构成线性空间
+      - 齐次线性方程的解要么恒为零，要么恒不为零
+      - 齐次线性方程的若干解线性相关当且仅当在存在某点，它们在该点线性相关
+    ]<homogeneous-linear>
+    #proof[
+      - 简单验证即可
+      - 注意到 $x = 0$ 是平凡解，结合解的唯一性立得
+      - 注意到若干解的线性组合还是解，利用上一条性质立得
+    ]
+    #theorem[][
+      $n$ 维齐次线性微分方程的解空间恰为 $n$ 维线性空间。换言之，若可以找到 $n$ 个线性无关的解，则它们生成的线性空间恰为解空间，这称为方程的通解
+    ]
+    #proof[
+      令 $e_i$ 是 $RR^n$ 中一组标准基，令 $x_i (t)$ 是方程：
+      $
+      cases(
+        der(x, t) = A(t) x,
+        x(t_0) = e_i
+      )
+      $
+      的一个解，断言它们就是原方程解的基
+      - 首先，它们线性无关，既然它们在 $t_0$ 处线性无关，利用 @homogeneous-linear 即可
+      - 其次，任取原方程的初值为 $x(t_0) = x_0$，令：
+        $
+        x(t) = sum_i x_0^i x_i (t)
+        $
+        容易看出 $x(t)$ 也是符合该初值的解，由唯一性这就是唯一一个解
+      证毕
+    ]
+    #definition[][
+      若矩阵 $X$ 是齐次线性微分方程的解，也即：
+      $
+      der(X, t) = A(t) X
+      $
+      则称之为矩阵解。显然矩阵是解当且仅当每一列都是原方程的一个解，继而该矩阵的列秩至多为 $n$，恰为 $n$ 时称之为基本解矩阵或者基解阵
+    ]
+    #proposition[][
+      矩阵解 $X$ 是基础解矩阵当且仅当在某个点上有 $det(X) != 0$
+    ]
+    #proof[
+      就是 @homogeneous-linear
+    ]
+    #theorem()[][
+      设 $Phi(t)$ 是基解阵，则 $X(t)$ 是基解阵当且仅当存在可逆矩阵 $C$ 使得：
+      $
+      Phi(t) C = X(t)
+      $
+    ]
+    #proof[
+      注意到求导是线性的，因此：
+      $
+      der(Phi(t) C, t) = der(Phi(t), t) C = A(t) Phi(t) C
+      $
+      因此 $Phi(t) C$ 确实是解，计算行列式可得它是基础解矩阵
+
+      另一方面，设 $X(t)$ 是基础解矩阵，任取 $t_0$ 并设有：
+      $
+      Phi(t_0) C = X(t_0)
+      $
+      注意到 $ Phi(t_0), X(t_0)$ 都是可逆矩阵，$C$ 当然存在\
+      此时 $X(t) - Phi(t) C$ 是原方程有零点的解，就是零
+    ]
+    #proposition()[Liouville][
+      设 $x_i$ 是 $n$ 个解，设 $det(x_1, x_2, ..., x_n) := W(t)$，则：
+      $
+      W'(t) = tr(A(t)) W(t)
+      $
+    ]
+    #proof[
+      容易发现：
+      $
+      W'(t) = sum_i det(x_1, x_2, ..., x'_i, ..., x_n) = sum_i det(x_1, x_2, ..., A x_i, ..., x_n)
+      $
+      #lemma1[
+        $
+        sum_i det(x_1, x_2, ..., A x_i, ..., x_n) = tr(A) det(x_1, x_2, ..., x_n)
+        $
+      ]
+    ]
+  == 非齐次线性微分方程
+    #proposition[][
+      设线性微分方程：
+      $
+      x' = A(t) x + B(t)
+      $
+      则：
+      - 任意两个解的差是对应齐次线性微分方程 $x' = A(t) x$ 的解
+      - 设 $gamma(t)$ 是一个特解（任意一个解），$X$ 是对应齐次微分方程的解空间，则原方程的所有解为 $gamma(t) + X$
+    ]
+    #proposition[常数变易法][
+      设 $Phi(t)$ 是 $x' = A(t) x$ 的基本解矩阵，则 $x' = A(t) x + f(t)$ 的解可以通过常数变易：
+      $
+      x = Phi(t) C(t)\
+      Phi'(t) C(t) + Phi(t) C'(t) = A(t) Phi(t) C(t) + f(t)\
+      Phi(t) C'(t) = f(t)\
+      C'(t) = Inv(phi(t)) f(t)\
+      C(t) = integral_(t_0)^(t) Inv(phi(s)) f(s) dif s
+      $
+      这给出了可行的 $C$
+    ]
+    上述命题表明，解一般线性微分方程的困难根本上来源于求齐次线性微分方程基础解矩阵的困难
\ No newline at end of file
diff --git "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ" "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ"
new file mode 100644
index 0000000..7798162
--- /dev/null
+++ "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ"	
@@ -0,0 +1,99 @@
+#import "../../template.typ": proof, note, corollary, lemma, theorem, definition, example, remark, proposition,der, partialDer, Spec
+#import "../../template.typ": *
+// Take a look at the file `template.typ` in the file panel
+// to customize this template and discover how it works.
+#show: note.with(
+  title: "作业4",
+  author: "YHTQ",
+  date: none,
+  logo: none,
+  withOutlined : false,
+  withTitle :false,
+)
+应交时间为 5月8日
+#set heading(numbering: none)
+= 162
+  == 3
+    记初值 $x(0), x'(0)$ 下的解为：
+    $
+    phi(t, x(0), x'(0))
+    $
+    代入微分方程有：
+    $
+    (partial^2 phi)/(partial t^2) + C partialDer(phi, t) + g(phi) = p(t)
+    $
+    上式关于 $x(0), x'(0)$ 求偏导，将得到相同形式的方程：
+    $
+    u'' + C u' + g'(phi) u = 0
+    $
+    其中 $u_1 = partialDer(phi, x(0))$ 或 $u_2 = partialDer(phi, x'(0))$\
+    此外，显然将有 $u'_1 = partialDer(phi', x(0))$ 或 $u'_2 = partialDer(phi', x'(0))$\
+    以上两式意味着：
+    $
+    Phi'_t &= partialDer((phi(t), phi'(t)), (x(0), x'(0)))\
+    &= mat(u_1, u_2;u'_1, u'_2)\
+    det Phi'_t& = u_1 u'_2 - u_2 u'_1 \
+    (det Phi'_t)' &= u'_1 u'_2 + u_1 u''_2 - u'_1 u'_2 - u_2 u''_1 = u_1 u''_2 - u_2 u''_1\
+    &= - u_1 (C u'_2 + g'(phi) u_2) + u_2 (C u'_1 + g'(phi) u_1) \
+    &= - C (u_1 u'_2 - u_2 u'_1) = - C det Phi'_t\
+    $
+    上式表明：
+    $
+    det Phi'_t = A e^(-C t)
+    $
+    其中 $A$ 与 $t$ 无关，代入 $t = 0$ 立得 $A = 1$，因此：
+    $
+    det Phi'_t = e^(-C t)
+    $
+    将 $t = 2 pi$ 代入立得结论
+  == 4
+    == 1
+      设解为 $phi(x, mu)$，将有：
+      $
+      partialDer(partialDer(phi, mu), x) = phi^2 + 2 phi partialDer(phi, mu)\
+      partialDer(phi, mu) (0, mu) = 1
+      $
+      此外，$phi(x, 0)$ 是方程：
+      $
+      cases(
+        y' = 2 x,
+        y(0) = -1
+      )
+      $
+      的解，因此：
+      $
+      phi(x, 0) = x^2 - 1
+      $
+      综上，所求 $partialDer(y, mu)|_(mu = 1)$ 是微分方程：
+      $
+      cases(
+        u' = (x^2 - 1)^2 + 2 (x^2 - 1) u,
+        u(0) = 1
+      )
+      $
+      的解，求解得：
+      $
+      u = e^(2/3 x(x^2-3)) (1 + integral_(0)^(x) e^(2/3 t(t^2-3)) (t^2 - 1)^2 dif t )
+      $
+    == 2
+      设 $u = partialDer(y, mu)$ 将有：
+      $
+      u'' = 2/y^2 u
+      $
+      将 $mu = 1$ 代入原方程，变成：
+      $
+      cases(
+        y'' = 2/x - 2/y,
+        y(1) = 1,y'(1) = 1
+      )
+      $
+      观察发现 $y = x$ 是方程的一个解。同时，可以将原方程转化成二维的一阶微分方程，进而证明该初值下解是唯一的。\
+      因此只需解：
+      $
+      cases(
+        u'' = 2/x^2 u,
+        u(1) = 0,
+        u'(1) = 1
+      )
+      $
+      解得 $u = (x^3-1)/(3 x)$
diff --git "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ"
index d99010d..d42da78 100644
--- "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ"
+++ "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ"
@@ -1403,7 +1403,7 @@
     #let SG = $"SG"$
     上面的两个目标当然无法轻易实现，需要很多的设计和取舍。例如一个经典的方法是所谓的*双曲截断*，考虑到系数在每个维度上衰减都十分迅速，因此应该取那些合适的格点使得每个维度都不要取过高项的系数。具体来说，取格点：
     $
-    SG_N = {kv | product_(j=1)^n max(kv_j, 1) := absMix(kv) <= N}
+    SG_N = {kv | product_(j=1)^n max(abs(kv_j), 1) := absMix(kv) <= N}
     $
     此时，近似函数所在的函数空间为：
     $
@@ -1441,4 +1441,124 @@
         &< 1/N^(2 m - 2mu) absKpm2(u)
         $
         证毕
+      ]
+      #remark[][
+        上面的定理说明了投影可以保持精度，理论上还要证明插值也保持投影的精度，这里不再赘述。
+
+        这里函数空间的限制（也即 $absKpm(u) < infinity$ ）是非常重要的，不难看出一旦失去了这个条件精度便会失去估计。从形式上看，这需要 $tu_k$ 衰减地非常之快，谱方法中它确实往往有较好的收敛速度，但在一般的数值方法中未必。
+
+        然而有趣的是，双曲截断方法的提出在历史上并非最早为了谱逼近方法提出，而是为了在谱方法之前更加常用的分片常数/多项式逼近设计的。
+        
+      ]<approx-remark>
+
+    - 使用该方法需要取多少格点，也即稀疏性如何。为此，希望计算 $abs(SG_N)$
+      #theorem[][
+        $d$ 维的稀疏网格满足：
+        $
+        abs(SG_N) = O(N (log N)^(d-1))
+        $
+      ]
+      #proof[
+        利用数学归纳法
+        - $d = 1$ 是容易的
+        - 一般的：
+          $
+          {kv | product_(j=1)^n max(abs(kv_j), 1) := absMix(kv) <= N} \
+          = union_(s =0)^N {kv | product_(j=1)^n max(abs(kv_j), 1) <= N, abs(kv_1) = s}\
+          = (union.big_(s =1)^N {kv | product_(j=2)^n max(abs(kv_j), 1) <= N/s, abs(kv_1) = s}) union {kv | product_(j=2)^n max(abs(kv_j), 1) <= N,  abs(kv_1) = 0}\
+          $
+          上式中均为不交并，因此对其计数并利用归纳假设，有：
+          $
+          abs(SG_N^d) = 2 sum_(s=1)^N abs(SG_(N/s)^(d-1)) + abs(SG_N^(d-1))\
+          = sum_(s=1)^N O(N/s (log (N/s))^(d-2)) + O(N (log N)^(d-2))\
+          = N sum_(s=1)^N O(1/s (log N - log s)^(d-2) )+ O(N (log N)^(d-2))
+          $
+          只需要估计 $sum_(s=1)^N O(1/s (log N - log s)^(d-2) )$，利用积分有：
+          $
+          sum_(s=1)^N O(1/s (log N - log s)^(d-2) )&<= integral_(1)^(N) 1/x (log N - log x)^(d-2) dif s\
+          &=^(t = log s) k integral_(0)^(log N) (log N - t)^(d-2) dif t\ 
+          &=^(u = log N - t) k integral_(0)^(log N) u^(d-2) dif u\ 
+          &= O((log N)^(d-1))
+          $
+          故原式约为 $O(N (log N)^(d-1)) + O(N (log N)^(d-2)) = O(N (log N)^(d-1))$，证毕
+      ]
+      这个结果当然比之前的全网格好得多，我们只需要稍微劣于线性的复杂度就可以取得足够多的项。
+    == 分片线性逼近中的稀疏网格
+      #let oddl = $odd_l$
+      @approx-remark 中提到了稀疏网格方法的历史问题，为了完善起见我们论述如何在更加简单的分片线性逼近中实现稀疏网格方法。核心而言，我们要：
+      - 找到合适的正交基。在谱方法中我们采用了三角函数的振荡正交，而在这里我们索性简单地将不同基的非零部分（称为*支集*）分开。
+      - 找到指数级别的衰减性。一般的分片逼近并无如此强的衰减性，我们必须迅速增加分点个数以保证高速衰减。
+      #definition[分片线性逼近][
+        令：
+        $
+        Phi(x) = cases(
+          1 - abs(x) quad abs(x) <= 1,
+          0 quad "else"
+        )
+        $
+        对 $[0, 1]$ 做均匀划分，网格步长为 $h_l = 2^(-l)$，分点为：
+        $
+        0 = x^l_0 < x^l_1 < ... < x^l_(2^l) = 1
+        $
+        以这些分点构造分片线性基函数：
+        $
+        Phi_(l i) = Phi((x - x^l_(i))/h_l)
+        $
+        其紧支集为 $[x^l_i - h_l, x^l_i + h_l]$\
+        记 $V_l = "span" {Phi_(l i) | i = 0, 1, ..., 2^l}$，称为分片线性函数逼近空间。\
+        方便起见，不妨设函数在边界为零，因此不需要再考虑 $Phi_(l 0), Phi_(l 2^l)$
+
+        考虑如下的嵌套基组：
+        $
+        W_l = "span" {Phi_(l i) | i in {1, 3, 5, ..., 2^l - 1} := oddl}\
+        $
+        不难发现 $W_l$ 中每两个函数之间的紧支集至多交于一点，且 $W_l$ 中任何一个基函数在 $W_(l+1)$ 中恰好分成两个函数（所谓的嵌套关系）
+      ]
+      #proposition[][
+        在不考虑边界的情况下，有：
+        $
+        V_L = plus.circle_(1 <= l <= k) w_l 
+        $
+        继而任取 $u in V_L$ 将有：
+        $
+        u(x) = sum_(l=1)^L sum_(i in oddl) hu_(l i) Phi_(l i)(x) 
+        $<linear-approx>
+      ]
+      #let diffI(y, h) = $I_((#y, #h))$
+      #theorem[][
+        在上面的命题中，有：
+        $
+        hu_(l i) = diffI(x_(l i), h_l) u(x) \
+        where diffI(y, h) u(x) = u(y) - 1/2(u(y-h) + u(y+h))
+        $
+      ]
+      #proof[
+        注意到 $I$ 具有线性，以 $I$ 作用于 @linear-approx 将有：
+        $
+        diffI(x_(l i), h_l) u(x) = sum_(l'=1)^L sum_(i' in oddl) hu_(l' i') diffI(x_(l i), h_l) (Phi_(l' i')(x) )
+        $
+        只需计算：
+        $
+        diffI(x_(l i), h_l) (Phi_(l' i')(x) ) = Phi_(l' i')(x_(l i)) - 1/2(Phi_(l' i')(x_(l i) - h_l) + Phi_(l' i')(x_(l i) + h_l))\
+        $
+        - $l' < l$ 时，$x_(l i) plus.minus h_l$ 一定落在 $Phi_(l' i')$ 中的同一个线性分支上（线性增加/减少/支集之外），观察 $I$ 的表达式可得一定为零
+        - $l' > l$ 时，观察发现 $x_(l i) plus.minus h_l$ 在高层基函数的取值均为零，当然也是零
+        - $l = l'$ 时，由不重叠性非零除非 $i = i'$，此时 $Phi_(l' i')(x_(l i) + h_l) = 1$
+        综上，$Phi_(l' i')(x_(l i) + h_l) = delta_(i, i') delta_(l, l')$，代回即可得到所证式子
+      ]
+      #corollary[][
+        在上面的命题中，有：
+        $
+        hu_(l i) = integral_(0)^(1) (-1/2) 2^(-l) Phi_(l, i) (x) u''(x) dif x
+        $
+      ]
+      #proof[
+        $
+        integral_(0)^(1) (-1/2) 2^(-l) Phi_(l, i) (x) u''(x) dif x
+        &= - 2^(-l-1) integral_(x_l^i - h_l)^(x_l^i + h_l) Phi_(l, i) (x) u''(x) dif x\
+        &"（利用分部积分计算并展开）"\
+        &=  - 2^(-l-1)  (integral_(x_l^i - h_l)^(x_l^i ) (u'(x))/(h_l) dif x - integral_(x_l^i )^(x_l^i + h_l ) (u'(x))/(h_l) dif x)\
+        &= - 1/2 (integral_(x_l^i - h_l)^(x_l^i ) u'(x) dif x - integral_(x_l^i )^(x_l^i + h_l ) u'(x) dif x)\
+        &= diffI(x_(l i), h_l) u(x)
+        $
       ]
\ No newline at end of file
diff --git "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\344\275\234\344\270\232/hw5.typ" "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\344\275\234\344\270\232/hw5.typ"
new file mode 100644
index 0000000..d33b173
--- /dev/null
+++ "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/\344\275\234\344\270\232/hw5.typ"
@@ -0,0 +1,48 @@
+#import "../../template.typ": proof, note, corollary, lemma, theorem, definition, example, remark, proposition,der, partialDer, Spec
+#import "../../template.typ": *
+// Take a look at the file `template.typ` in the file panel
+// to customize this template and discover how it works.
+#show: note.with(
+  title: "作业5",
+  author: "YHTQ",
+  date: none,
+  logo: none,
+  withOutlined : false,
+  withTitle :false,
+)
+（应交事件为4月29日）
+#set heading(numbering: none)
+= 4.1
+  == 1
+    设 $N = 2^k$, 目标是计算：
+    $
+    sum_(s=-N)^N sum_(t = - N)^N X_(s t) e^(-(2 pi i(s u + t v))/(2 N)), forall u, v = -N, ..., N
+    $
+    令 $omega = e^(-(2 pi i)/(2 N))$，上式变为：
+    $
+    sum_(s=-N)^N sum_(t = - N)^N X_(s t) omega^(s u) omega^(t v)\
+    // = sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_(s t) omega^(s u) omega^(t v) + sum_(s=0)^N sum_(t = -N)^0 X_(s t) omega^(s u) omega^(t v) + sum_(s=-N)^0 sum_(t = 0)^N X_(s t) omega^(s u) omega^(t v) + sum_(s=-N)^0 sum_(t = -N)^0 X_(s t) omega^(s u) omega^(t v)\
+    // = sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_(s t) omega^(s u) omega^(t v) + sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_(s (t - N)) omega^(s u) omega^((t - N) v) + sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_((s - N) t) omega^(s - N) u) omega^(t v) + sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_((s - N) (t - N)) omega^((s - N) u) omega^((t - N) v)\ 
+    // = sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_(s t) omega^(s u) omega^(t v) + sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_(s (t - N)) omega^(s u) omega^((t - N) v) + sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_((s - N) t) omega^(s u) omega^(t v) + sum_(s=0)^N sum_(t = 0)^N X_((s - N) (t - N)) omega^(s u) omega^(t v)\
+    = sum_(s = -N/2)^(N/2) sum_(t = -N/2)^(N/2) X_(2s 2t) omega^(2 s u) omega^(2 t v) + sum_(s = -N/2)^(N/2) sum_(t = -N/2)^(N/2 - 1) X_(2s 2t-1) omega^(2 s u) omega^((2 t - 1) v) \
+    + sum_(s = -N/2)^(N/2 - 1) sum_(t = -N/2)^(N/2) X_(2s-1 2t) omega^((2 s - 1) u) omega^(2 t v) + sum_(s = -N/2)^(N/2 - 1) sum_(t = -N/2)^(N/2 - 1) X_(2s-1 2t-1) omega^((2 s - 1) u) omega^((2 t - 1) v)\
+    = sum_(s = -N/2)^(N/2) sum_(t = -N/2)^(N/2) X_(2s 2t) omega^(2 s u) omega^(2 t v) 
+    + omega^(-v) sum_(s = -N/2)^(N/2) sum_(t = -N/2)^(N/2 - 1) X_(2s 2t-1) omega^(2 s u) omega^(2 t) \
+    + omega^(-s) sum_(s = -N/2)^(N/2 - 1) sum_(t = -N/2)^(N/2) X_(2s-1 2t) omega^(2 s u) omega^(2 t v) 
+    + omega^(-v) omega^(-s) sum_(s = -N/2)^(N/2 - 1) sum_(t = -N/2)^(N/2 - 1) X_(2s-1 2t-1) omega^(2 s u) omega^(2 t v)\
+    $
+    此外，当然有 $omega^(v - N) = - omega^v, omega^(u - N) = -omega^N$，因此只需对 $u, v in [0, N]^2 sect ZZ^2$ 计算上面四个子二维傅里叶变换，然后将结果合并即可。\
+    方便起见，设加法和乘法的时间代价均为 $1$，$N = 2^k$ 对应二维傅里叶展开的计算次数约为：
+    $
+    a_(2^k) = 4 a_(2^(k-1)) + 7 dot 4 dot 2^(2 k) 
+    $
+    令 $b_k = 2^(-k) a_(2^k)$，将有：
+    $
+    2^k b_k = 2^(k+1) b_(k-1) + 7 dot 4 dot 2^(2 k)\
+    b_k = 2 b_(k-1) + 28 2^k\
+    2^(-k) b_k = 2^(-(k-1)) b_(k-1) + 28\
+    2^(-k) b_k = 28 k + A\
+    b_k = 28 k 2^k + A 2^k\
+    a_(2^k) = 28 k 2^(2 k) + A 2^(2 k)\
+    $
+    总之，时间复杂度为 $O(N^2 log N)$
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