diff --git "a/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/Cargo.lock" "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/Cargo.lock"
new file mode 100644
index 0000000..d2a0ba4
--- /dev/null
+++ "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/Cargo.lock"
@@ -0,0 +1,201 @@
+# This file is automatically @generated by Cargo.
+# It is not intended for manual editing.
+version = 3
+
+[[package]]
+name = "approx"
+version = "0.5.1"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "cab112f0a86d568ea0e627cc1d6be74a1e9cd55214684db5561995f6dad897c6"
+dependencies = [
+ "num-traits",
+]
+
+[[package]]
+name = "autocfg"
+version = "1.4.0"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "ace50bade8e6234aa140d9a2f552bbee1db4d353f69b8217bc503490fc1a9f26"
+
+[[package]]
+name = "bytemuck"
+version = "1.19.0"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "8334215b81e418a0a7bdb8ef0849474f40bb10c8b71f1c4ed315cff49f32494d"
+
+[[package]]
+name = "hw5"
+version = "0.1.0"
+dependencies = [
+ "nalgebra",
+]
+
+[[package]]
+name = "matrixmultiply"
+version = "0.3.9"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "9380b911e3e96d10c1f415da0876389aaf1b56759054eeb0de7df940c456ba1a"
+dependencies = [
+ "autocfg",
+ "rawpointer",
+]
+
+[[package]]
+name = "nalgebra"
+version = "0.33.2"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "26aecdf64b707efd1310e3544d709c5c0ac61c13756046aaaba41be5c4f66a3b"
+dependencies = [
+ "approx",
+ "matrixmultiply",
+ "nalgebra-macros",
+ "num-complex",
+ "num-rational",
+ "num-traits",
+ "simba",
+ "typenum",
+]
+
+[[package]]
+name = "nalgebra-macros"
+version = "0.2.2"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "254a5372af8fc138e36684761d3c0cdb758a4410e938babcff1c860ce14ddbfc"
+dependencies = [
+ "proc-macro2",
+ "quote",
+ "syn",
+]
+
+[[package]]
+name = "num-bigint"
+version = "0.4.6"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "a5e44f723f1133c9deac646763579fdb3ac745e418f2a7af9cd0c431da1f20b9"
+dependencies = [
+ "num-integer",
+ "num-traits",
+]
+
+[[package]]
+name = "num-complex"
+version = "0.4.6"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "73f88a1307638156682bada9d7604135552957b7818057dcef22705b4d509495"
+dependencies = [
+ "num-traits",
+]
+
+[[package]]
+name = "num-integer"
+version = "0.1.46"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "7969661fd2958a5cb096e56c8e1ad0444ac2bbcd0061bd28660485a44879858f"
+dependencies = [
+ "num-traits",
+]
+
+[[package]]
+name = "num-rational"
+version = "0.4.2"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "f83d14da390562dca69fc84082e73e548e1ad308d24accdedd2720017cb37824"
+dependencies = [
+ "num-bigint",
+ "num-integer",
+ "num-traits",
+]
+
+[[package]]
+name = "num-traits"
+version = "0.2.19"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "071dfc062690e90b734c0b2273ce72ad0ffa95f0c74596bc250dcfd960262841"
+dependencies = [
+ "autocfg",
+]
+
+[[package]]
+name = "paste"
+version = "1.0.15"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "57c0d7b74b563b49d38dae00a0c37d4d6de9b432382b2892f0574ddcae73fd0a"
+
+[[package]]
+name = "proc-macro2"
+version = "1.0.89"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "f139b0662de085916d1fb67d2b4169d1addddda1919e696f3252b740b629986e"
+dependencies = [
+ "unicode-ident",
+]
+
+[[package]]
+name = "quote"
+version = "1.0.37"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "b5b9d34b8991d19d98081b46eacdd8eb58c6f2b201139f7c5f643cc155a633af"
+dependencies = [
+ "proc-macro2",
+]
+
+[[package]]
+name = "rawpointer"
+version = "0.2.1"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "60a357793950651c4ed0f3f52338f53b2f809f32d83a07f72909fa13e4c6c1e3"
+
+[[package]]
+name = "safe_arch"
+version = "0.7.2"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "c3460605018fdc9612bce72735cba0d27efbcd9904780d44c7e3a9948f96148a"
+dependencies = [
+ "bytemuck",
+]
+
+[[package]]
+name = "simba"
+version = "0.9.0"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "b3a386a501cd104797982c15ae17aafe8b9261315b5d07e3ec803f2ea26be0fa"
+dependencies = [
+ "approx",
+ "num-complex",
+ "num-traits",
+ "paste",
+ "wide",
+]
+
+[[package]]
+name = "syn"
+version = "2.0.86"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "e89275301d38033efb81a6e60e3497e734dfcc62571f2854bf4b16690398824c"
+dependencies = [
+ "proc-macro2",
+ "quote",
+ "unicode-ident",
+]
+
+[[package]]
+name = "typenum"
+version = "1.17.0"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "42ff0bf0c66b8238c6f3b578df37d0b7848e55df8577b3f74f92a69acceeb825"
+
+[[package]]
+name = "unicode-ident"
+version = "1.0.13"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "e91b56cd4cadaeb79bbf1a5645f6b4f8dc5bde8834ad5894a8db35fda9efa1fe"
+
+[[package]]
+name = "wide"
+version = "0.7.28"
+source = "registry+https://github.com/rust-lang/crates.io-index"
+checksum = "b828f995bf1e9622031f8009f8481a85406ce1f4d4588ff746d872043e855690"
+dependencies = [
+ "bytemuck",
+ "safe_arch",
+]
diff --git "a/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/Cargo.toml" "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/Cargo.toml"
new file mode 100644
index 0000000..55e577a
--- /dev/null
+++ "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/Cargo.toml"
@@ -0,0 +1,7 @@
+[package]
+name = "hw5"
+version = "0.1.0"
+edition = "2021"
+
+[dependencies]
+nalgebra = "*"
diff --git "a/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/hw5.typ" "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/hw5.typ"
new file mode 100644
index 0000000..5578235
--- /dev/null
+++ "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/hw5.typ"
@@ -0,0 +1,96 @@
+#import "../../../template.typ": *
+#show: note.with(
+  title: "作业5",
+  author: "YHTQ",
+  date: datetime.today().display(),
+  logo: none,
+  withOutlined : false,
+  withTitle : false,
+  withHeadingNumbering: false
+)
+= 7.
+  取初值 $x_0 = vec(1, 1)$，有：
+  $
+    A^k x_0 &= (lambda I + mat(0, 1;0, 0))^k vec(1, 1)\
+    &= (lambda^k I + k lambda^(k - 1) mat(0, 1;0, 0)) vec(1, 1)\
+    &= lambda^k vec(1, 1) + k lambda^(k - 1) vec(1, 0)\
+    &= lambda^(k-1) vec(lambda + k, lambda)
+  $
+  不难验证 $(A^k x_0) / norm(A^k x_0) -> vec(1, 0)$
+  $
+    B^k x_0 &= (lambda mat(1, 0;0, -1) + mat(0, 1;0, 0))^k vec(1, 1)\
+    &= (lambda^k mat(1, 0;0, (-1)^k) + k lambda^(k - 1) mat(0, 1;0, 0)) vec(1, 1)\
+    &= lambda^(k - 1) mat(lambda, k;0, (-1)^k lambda) vec(1, 1)\
+    &= lambda^(k - 1) vec(lambda + k, (-1)^k lambda)\
+  $
+  同样不难验证幂法收敛于 $vec(1, 0)$
+= 9.
+  求最佳的 $mu$ 等价于：
+  $
+    min_mu max(abs((lambda_2 - mu)/(lambda_1 - mu)), abs((lambda_n - mu)/(lambda_1 - mu))) \
+    s.t. abs(lambda_1 - mu) > abs(lambda_n - mu) and abs(lambda_1 - mu) > abs(lambda_2 - mu)
+  $
+  - 首先，事实上约束条件是无用的，只要 $max(abs((lambda_2 - mu)/(lambda_1 - mu)), abs((lambda_n - mu)/(lambda_1 - mu))) < 1$ 则两个条件当然都满足。
+  - 其次， $f(mu) := max(abs((lambda_2 - mu)/(lambda_1 - mu)), abs((lambda_n - mu)/(lambda_1 - mu)))$ 对于 $mu$ 在 $lambda_1$ 两侧是连续的，且除去 $lambda_2, lambda_1, abs((lambda_2 - mu)/(lambda_1 - mu)) = abs((lambda_n - mu)/(lambda_1 - mu))$ 的若干点外，函数都是单调的，不可能取最小值，只需计算：
+  $
+    lim_(mu -> infinity) f(mu) = 1\
+    lim_(mu -> lambda_1) f(mu) = +infinity\
+    f(lambda_2) =  (lambda_2 - lambda_n)/(lambda_1 - lambda_2)\
+    f(lambda_n) =  (lambda_2 - lambda_n)/(lambda_1 - lambda_n)\
+    abs((lambda_2 - mu)/(lambda_1 - mu)) = abs((lambda_n - mu)/(lambda_1 - mu)) => abs(lambda_2 - mu) = abs(lambda_n - mu) => mu = (lambda_2 + lambda_n)/2\
+    f((lambda_2 + lambda_n)/2) = abs((lambda_2 - lambda_n)/2) / abs(lambda_1 - (lambda_2 + lambda_n)/2)\
+  $
+  而事实上，有：
+  $
+    abs((lambda_2 - lambda_n)/2) / abs(lambda_1 - (lambda_2 + lambda_n)/2) = abs(lambda_2 - lambda_n) / abs((lambda_1 - lambda_2) + (lambda_1 - lambda_n)) = (lambda_2 - lambda_n) / ((lambda_1 - lambda_2) + (lambda_1 - lambda_n))
+  $
+  不难看出 $f((lambda_2 + lambda_n)/2)$ 是函数的最小值，并且不难验证 $f((lambda_2 + lambda_n)/2) < 1$，因此约束条件也成立
+= 11.
+  取 $x_0 = vec(1, 0, 0)$，计算得近似特征向量：
+  $
+    vec(0.7887, -0.5773, 0.2113)
+  $
+= 14.
+  $
+    A_0 = mat(1, 0;1, -1) = mat(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2 ;sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2) mat(sqrt(2), -sqrt(2)/2;0, sqrt(2)/2)\
+    A_1 = mat(1/2, 3/2;1/2, -1/2)\
+    A_2 = mat(1, 0;1, -1)
+  $
+  因此 QR 迭代不收敛
+= 23
+  #lemmaLinear[][
+    设 $A$ 是上三角矩阵，对角元为 $a_(i i)$，若对 $k$ 满足：
+    $
+      a_(i i) != 0, i > k
+    $
+    则方程组：
+    $
+      A x = 0
+    $
+    的解等价于方程组：
+    $
+      A_((k - 1) k) x = 0
+    $
+    的解后面加上足够多的 $0$
+  ]
+  #proof[
+    简单验证即可
+  ]
+  为了计算所有特征向量，只需对所有 $i$ 解：
+  $
+    (A - a_(i i) I) x = 0
+  $
+  不难看出其解空间维数为 $1$，解法如下：
+  - 对于任意 $i$，不难看出 $A - a_(i i) I$ 满足引理中 $k = i$ 条件，因此只需解一个形如：
+    $
+      mat(a_(1 1), a_(1 2), ..., a_(1 (i - 1)), a_(1 i);0, a_(2 2), ..., a_(2 (i - 1)), a_(2 i);0, 0, ..., a_((i-1) (i-1)), a_((i-1) i)) x = 0
+    $
+    的方程即可，其中对角元 $a_(i i)$ 非零。因为解空间维数为 $1$，只需找到一个解即可，不妨取 $x_i = -1$，方程组化为：
+    $
+      mat(a_(1 1), a_(1 2), ..., a_(1 (i - 1));0, a_(2 2), ..., a_(2 (i - 1));0, 0, ..., a_((i-1) (i-1))) x = vec(a_(1 i), a_(2 i), ..., a_((i-1) i))
+    $
+    按照解上三角线性方程组的解法解出即可。
+  总的复杂度约为：
+  $
+    sum_(i = 1) ^ n (i-1)^2 approx 1/3 n^3
+  $
\ No newline at end of file
diff --git "a/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/output" "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/output"
new file mode 100644
index 0000000..cb48de9
--- /dev/null
+++ "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/output"
@@ -0,0 +1,3 @@
+max root: -3.0000000000723883, iter: 25
+max root: 1.8793852414928818, iter: 112
+max root: -100.00000000010793, iter: 11
diff --git "a/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/src/main.rs" "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/src/main.rs"
new file mode 100644
index 0000000..f3db567
--- /dev/null
+++ "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/src/main.rs"
@@ -0,0 +1,121 @@
+use std::borrow::Borrow;
+use std::iter;
+
+use na::{DefaultAllocator, OMatrix, Vector};
+use nalgebra::{self as na, Dim, Matrix, OVector, Unit, U1, U3, U8};
+use nalgebra::Normed;
+
+// 根据多项式向量构造友阵，注意多项式为：
+// p(x) = x^n + poly(0) * x^(n-1) + poly(1) * x^(n-2) + ... + poly(n-2) * x + poly(n-1) 
+fn get_companion_matrix<T, D, S> (poly: &Vector<T, D, S>) -> OMatrix<T, D, D>
+where
+    T: na::RealField + Copy,
+    D: Dim,
+    S: na::storage::Storage<T, D, U1>,
+    DefaultAllocator: na::allocator::Allocator<D, D>
+{
+    let n = poly.nrows();
+    let mut companion = OMatrix::<T, D, D>::zeros_generic(D::from_usize(n), D::from_usize(n));
+    for i in 0..n-1 {
+        companion[(i+1, i)] = T::one();
+    }
+    for i in 0..n {
+        companion[(i, n-1)] = -poly[n - 1 - i];
+    }
+    companion
+}
+
+// 用幂法计算矩阵特征值
+struct PowerMethod<'a, T: na::RealField + Copy, D: Dim, S: na::storage::Storage<T, D, D>>
+where DefaultAllocator: na::allocator::Allocator<D, U1>
+{
+    name: &'a str,
+    matrix: Matrix<T, D, D, S>,
+    x: Unit<OVector<T, D>>,
+}
+
+impl <'a, T: na::RealField + Copy, D: Dim, S: na::storage::Storage<T, D, D>> PowerMethod<'a, T, D, S>
+where DefaultAllocator: na::allocator::Allocator<D, U1>
+{
+    fn new(name: &'a str, matrix: Matrix<T, D, D, S>, x: Unit<OVector<T, D>>) -> Self {
+        Self { name, matrix, x }
+    }
+    fn next(self) -> PowerMethod<'a, T, D, S> {
+        let x1 = self.x.into_inner();
+        let y = (&self.matrix) * (x1);
+        let x = Unit::new_normalize(y);
+        PowerMethod::new(self.name, self.matrix, x)
+    }
+    fn get_lambda(&self) -> T {
+        let x = self.x.as_ref();
+        let y = (&self.matrix) * x;
+        y.ad_mul(&self.x.as_ref())[0]
+    }
+    fn run_until(self, max_iter: usize, tol: T) -> Result<(Self, usize), String> {
+        let mut lambda_o = self.get_lambda();
+        let mut next = self;
+        for i in 0..max_iter {
+            next = next.next();
+            let lambda = next.get_lambda();
+            if (lambda - lambda_o).abs() < tol * lambda.abs()
+            {
+                return Ok((next, i));
+            }
+            lambda_o = lambda;
+        }
+        Err(format!("{}: max_iter reached", next.name.to_string()))
+    }
+}
+
+fn polynomial_to_string <T, D, S> (poly: &Vector<T, D, S>) -> String
+where
+    T: na::RealField + Copy,
+    D: Dim,
+    S: na::storage::Storage<T, D, U1>,
+    DefaultAllocator: na::allocator::Allocator<D, D> + na::allocator::Allocator<D, U1>
+{
+    let n = poly.nrows();
+    iter::once(format!("x^{}", n))
+    .chain(poly.iter().enumerate().map(|(i, x)| {
+        if i == n - 1 {
+            format!("{}", x)
+        } else {
+            if *x == T::zero() {
+                "".to_string()
+            } else if *x == T::one() {
+                format!("x^{}", n - 1 - i)
+            } else {
+                format!("{}x^{}", x, n - 1 - i)
+            }
+        }
+    }))
+    .collect::<Vec<String>>().join(" + ")
+}
+
+fn get_max_root_of_polynomial<T, D, S> (poly: &Vector<T, D, S>) -> ()
+where
+    T: na::RealField + Copy,
+    D: Dim,
+    S: na::storage::Storage<T, D, U1>,
+    DefaultAllocator: na::allocator::Allocator<D, D> + na::allocator::Allocator<D, U1>
+{
+    let companion = get_companion_matrix(poly);
+    let x = Unit::new_normalize(OVector::<T, D>::repeat_generic(poly.shape_generic().0, U1 ,T::one()));
+    let name = polynomial_to_string(poly);
+    let power_method = PowerMethod::new(name.as_str(), companion, x);
+    let (power_method, iter) = power_method.run_until(1000, T::from_f64(1e-10).unwrap()).unwrap();
+    let lambda = power_method.get_lambda();
+    println!("max root: {}, iter: {}", lambda, iter);
+}
+
+fn main() {
+    get_max_root_of_polynomial(
+        &OVector::<f64, U3>::from_vec(vec![1.0, -5.0, 3.0])
+    );
+    get_max_root_of_polynomial(
+        &OVector::<f64, U3>::from_vec(vec![0.0, -3.0, -1.0])
+    );
+    get_max_root_of_polynomial(
+        &OVector::<f64, U8>::from_vec(vec![101.0, 208.01, 10891.01, 9802.08, 79108.9, -99902.0, 790.0, -1000.0])
+    );
+}
diff --git "a/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/\344\270\212\346\234\272\346\212\245\345\221\212.typ" "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/\344\270\212\346\234\272\346\212\245\345\221\212.typ"
new file mode 100644
index 0000000..041ea7f
--- /dev/null
+++ "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/code/hw5/\344\270\212\346\234\272\346\212\245\345\221\212.typ"
@@ -0,0 +1,17 @@
+#import "../../../template.typ": *
+#show: note.with(
+  title: "上机报告",
+  author: "YHTQ",
+  date: datetime.today().display(),
+  logo: none,
+  withOutlined : false,
+  withTitle : false,
+  withHeadingNumbering: false
+)
+#let output = read("output")
+本次作业主要是利用幂法解多项式的模最大根，结果如下：
+#block[
+#output
+]
+
+其中迭代终止条件设置为 $abs(lambda_k - lambda_(k - 1)) < 10^(-8) abs(lambda_k)$，可以看到幂法以非常快的速度收敛，效果很好。
\ No newline at end of file
diff --git "a/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/main.typ" "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/main.typ"
index 4cc6ac1..d9d3426 100644
--- "a/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/main.typ"
+++ "b/\350\256\241\347\256\227\346\226\271\346\263\225B/main.typ"
@@ -49,15 +49,8 @@
         $
         则称之为 $p$ 次渐进收敛
     ]
-= 数值代数
-  == 基本知识
-    数值代数的基本问题：
-    + 线性方程组
-    + 线性最小二乘
-    + 矩阵特征值
-    + 奇异值分析
-  == 直接法解线性方程组
-    === 三角形方程组和 LU 分解
+= 直接法解线性方程组
+    == 三角形方程组和 LU 分解
       若 $L$ 是下三角矩阵，且对角线上没有零，则称 $L y = b$ 是三角方程组。不难发现，这样的方程组可以在 $O(n^2)$ 时间解出。自然的，如果方程组 $A x = y$ 可以分解成：
       $
       A = L U\
@@ -815,5 +808,248 @@
       // $
       // 上面的不等式已经表明 $x^T D x != 0$，而若 $x^T D x < 0$，将有 $x^T L x < 0, lambda > 1, 1 - omega - lambda < 0, omega(1 + lambda) > 0$
     ]
+= 特征值问题  
+  #definition[特征值和特征向量][
+    设 $A in CC^(n times n)$，若存在 $lambda in CC, x in CC^n, x != 0$ 使得：
+    $
+    A x = lambda x
+    $
+    则称 $lambda$ 为 $A$ 的特征值，$x$ 为对应的特征向量。
 
-    
\ No newline at end of file
+    我们记 $lambda(A)$ 为 $A$ 特征值的集合，称为 $A$ 的谱集。称特征值在特征多项式中的重数为代数重数 $n_i$，几何重数称为 $m_i$
+  ]
+  矩阵特征值当然可以通过特征多项式计算，然而高次多项式求根是很困难的问题，因此求特征值往往会通过迭代法进行。
+  #proposition[][
+    设 $A = P B Inv(P)$，其中 $P$ 是非奇异矩阵，则 $A, B$ 有相同的特征值，特征向量由 $P$ 变换可得。
+  ]
+  #theorem[Jordan 分解][
+    设 $A$ 有 $r$ 个互不相同的特征值 $lambda_1, lambda_2, ..., lambda_r$，其代数重数分别为 $n_1, n_2, ..., n_r$，则存在非奇异矩阵 $P$ 使得：
+    $
+    P^(-1) A P = diag(J(lambda_1), J(lambda_2), ..., J(lambda_r))
+    $
+    其中 $J(lambda_i) in CC^(n_i times n_i)$ 由 Jordan 块构成。
+  ]
+  #theorem[Schur 分解][
+    设 $A in CC^(n times n)$，则存在酉矩阵 $Q$ 使得：
+    $
+    Q^T A Q = T
+    $
+    其中 $T$ 是上三角矩阵。
+  ]
+  实践上，Jordan 分析并非不可行，但往往数值相当不稳定，而 Schur 分解更加稳定。
+  == 幂法
+    如果我们只想要计算模最大的特征值，那么幂法是相当简单实用的方法。
+    #algorithm[幂法][
+      任取初值 $x_0$ 使得 $norm(x_0) = 1$，令：
+      $
+        x_(k + 1) = (A x_k) / norm(A x_k)\
+        lambda_(k +1) = inner(x_(k + 1), A x_(k + 1))
+      $
+      不断迭代即可。显然事实上有：
+      $
+        x_k = (A^k x_0) / norm(A^k x_0)\
+      $
+    ]
+    #theorem[][
+      假设 $A$ 存在唯一模最大的特征值，其代数重数等于几何重数，且初始向量 $x_0$ 在 $lambda_1$ 的特征子空间的投影不为零，则在幂法中，$x_k$ 确实收敛于 $A$ 的模最大特征值对应的特征向量，而 $lambda_k$ 收敛于该特征值。
+    ]<power_method>
+    #proof[
+      不妨设：
+      $
+        A = P diag(J(lambda_1), J(lambda_2), ..., J(lambda_r)) Inv(P)
+      $
+      其中 $abs(lambda_1) > abs(lambda_i), i != 1$则：
+      $
+        A^k x_0 = P diag(J(lambda_1)^k, J(lambda_2)^k, ..., J(lambda_r)^k) Inv(P) x_0
+      $
+      #lemma[][
+        设 $J(lambda)$ 是 Jordan 块，$abs(lambda') > abs(lambda)$，则：
+        $
+          (J(lambda) / lambda')^k -> 0
+        $
+      ]
+      由引理，有：
+      $
+        A^k x_0 = lambda_1^k P diag(I, (J(lambda_2) / lambda_1)^k, ..., (J(lambda_r)/ lambda_1)^k) Inv(P) x_0 \
+        (A^k x_0)/norm(A^k x_0) = (P diag(I, (J(lambda_2) / lambda_1)^k, ..., (J(lambda_r)/ lambda_1)^k) Inv(P) x_0) / norm(P diag(I, (J(lambda_2) / lambda_1)^k, ..., (J(lambda_r)/ lambda_1)^k) Inv(P) x_0)\
+        -> (P diag(I, 0, ..., 0) Inv(P) x_0)/norm(P diag(I, 0, ..., 0) Inv(P) x_0)
+      $
+      不难验证：
+      $
+        A (P diag(I, 0, ..., 0) Inv(P) x_0) &= P diag(J(lambda_1), 0, 0, ..., 0) Inv(P) x_0 \
+        &= lambda_1 P diag(I, 0, 0, ..., 0) Inv(P) x_0
+      $
+      表明 $x_k$ 确实收敛于一个 $lambda_1$ 的特征向量，而 $lambda_k$ 收敛于 $lambda_1$ 是容易验证的。
+    ]
+    #remark[][
+      - 容易看出幂法是指数收敛的，取决于 $abs(lambda_2 / lambda_1)$
+      - 幂法的运算简单，收敛也很快，但在 $abs(lambda_2 / lambda_1)$ 比较接近 $1$ 时收敛较慢，且一旦 @power_method 中条件不成立，则幂法无法收敛。例如实矩阵可能有两个共轭的特征值，它们的模相等，此时幂法可能不收敛。
+    ]
+    #algorithm[带位移策略的幂法][
+      我们可以转而用幂法计算 $A' := A - sigma I$ 的特征值，此时需要保证：
+      - $lambda_1 - sigma$  是 $A - sigma I$ 的最大特征值
+      - $max_(i != 1) abs((lambda_i - sigma) / (lambda_1 - sigma))$ 尽可能小
+      这种加速很直观，但一般来说 $sigma$ 很难选取到合适的值。
+    ]
+    #algorithm[带位移策略的反幂法][
+      如果将幂法用于 $Inv(A)$，就可以求出 $A$ 的模最小特征值：
+      - 选取初值 $x_0, sigma$
+      - $x_(k + 1) = ((A - sigma I)^(-1) x_k)/norm((A - sigma I)^(-1) x_k)$
+      它可以收敛到与 $sigma$ 最近的特征值。如果能取得与某个 $lambda$ 比较近的 $sigma$，则算法收敛将很快。实践上，我们不会求逆，而是对矩阵：
+      $
+      A - sigma I
+      $
+      作 LU 分解，然后再解线性方程组。
+    ]
+    #algorithm[Rayleigh 商迭代][
+      在上面的方法中，我们希望 $sigma$ 离 $lambda$ 越近越好。事实上，我们可以动态地调整 $sigma$
+      - 选取初值 $x_0$ 使得 $norm(x_0) = 1$
+      - 在每步中，取：
+        $
+          sigma_k = inner(x_k, A x_k)
+        $
+        令：
+        $
+          x_(k + 1) = ((A - sigma_k I)^(-1) x_k)/norm((A - sigma_k I)^(-1) x_k)
+        $   
+    ]
+    #theorem[][
+      若 Rayleigh 商迭代收敛到某个单特征值，则其收敛速度至少是二次的。若矩阵 $A$ 是对称的，则收敛速度可以达到局部的三次收敛。
+    ]
+    Rayleigh 商迭代有极快的收敛速度，然而每次要解不同的线性方程组，每步计算量更大。
+  == QR 迭代
+    #algorithm[QR 迭代][
+      - 取初值 $A_1 = A$
+      - 对矩阵 $A_k$ 做 $Q R$ 分解，有：
+        $
+          A_(k) = Q_k R_k
+        $
+      - 令：
+        $
+          A_(k + 1) = R_k Q_k
+        $
+    ]
+    #remark[][
+      事实上有：
+      $
+        A_(k + 1) &= R_k Q_k \
+        &= (Q_k^T Q_k) R_k Q_k\
+        &= Q_k^T A_k Q_k\
+        &= ...\
+        &= Q_k^T Q_(k-1)^T ... Q_1^T A Q_1 ... Q_(k-1) Q_k
+      $
+    ]
+    #let Qt = $tilde(Q)$
+    #let Rt = $tilde(R)$
+    接下来，我们记:
+    $
+      Qt_k = Q_1 ... Q_k\
+      Rt_k = R_k ... R_1
+    $
+    将有：
+    $
+      A_(k + 1) &= Qt_k^T A Qt_k\ 
+      Qt_k Rt_k &= Qt_(k - 1) Q_k R_k Rt_(k-1) = Qt_(k - 1) A_k Rt_(k-1)\
+                &= Qt_(k -1)  Qt_(k-1)^T A Qt_(k-1) Rt_(k-1)\
+                &= A Qt_(k-1) Rt_(k-1)\
+                &= ...\
+                &= A^k
+    $
+    这表明 $Qt_k Rt_k e_1 = A^k e_1$，换言之按照幂法当 $k$ 充分大时，$Qt_k Rt_k$ 的第一列将收敛到 $A$ 的模最大特征值对应的特征向量。类似的，有：
+    $
+      A Qt_k &= Qt_k A_(k +1) = Qt_k Q_(k + 1) R_(k + 1) = Qt_(k + 1) R_(k + 1)\
+      Qt_(k + 1) &= A Qt_k Inv(R_(k + 1)) = Inv(((A Qt_k Inv(R_(k + 1)))^T))\
+      &= Inv((A^T)) Qt_(k) R^T_(k + 1)\
+      Qt_(k + 1) e_n &= Inv((A^T)) Qt_(k) R^T_(k + 1) e_n = c_n Inv((A^T)) Qt_(k) e_n\
+      &= ... \
+      &= c (A^T)^(-k) e_n
+    $
+    也就是说最后一列和反幂法的现象是一致的。
+    #theorem[][
+      设 $A$ 具有 $n$ 个互不相等的特征值：
+      $
+        abs(lambda_1) > abs(lambda_2) > ... > abs(lambda_n)
+      $
+      设 $n$ 阶方阵 $Y$ 的第 $i$ 行是 $lambda_i$ 对应的特征向量。若 $Y$ 有 LU 分解，则 QR 方法产生的 $A_m$ 对角线以下元素收敛到零，并有第 $i$ 个对角元收敛于 $lambda_i$
+    ]
+    #proof[
+      令 $X = Inv(Y), Lambda = diag(lambda_i)$，则：
+      $
+        A = X Lambda Y\
+        A^m = X Lambda^m Y = X Lambda^m L U = X (Lambda^m L Lambda^(-m)) Lambda^m U
+      $
+      由条件，可以验证：
+      $
+        Lambda^m L Lambda^(-m) -> I
+      $
+      再令 $X = Q R$，不妨设 $R$ 对角元均正，则：
+      $
+        X (Lambda^m L Lambda^(-m)) Lambda^m U = Q  (R Lambda^m L Lambda^(-m) Inv(R)) R Lambda^m U 
+      $
+      当 $m$ 足够大时 $R Lambda^m L Lambda^(-m) Inv(R)$ 也非奇异，对其做 QR 分解得：
+      $
+        (R Lambda^m L Lambda^(-m) Inv(R)) = Q_m R_m
+      $
+      且：
+      $
+        Q_m -> I\
+        R_m -> I
+      $
+      最终有：
+      $
+        A^m = (Q Q_m)(R^m R Lambda^m U)
+      $
+      这是 $A^m$ 的一个 QR 分解，而由 QR 分解的唯一性：
+      $
+        Q Q_m D_1 = Qt_m\
+        D_1 R_m R Lambda^m U = Rt_m
+      $
+      其中 $D_1$ 是由 $1, -1$ 组成的对角阵。注意到 $A_m = Qt_m^T A Qt_m$，代入得：
+      $
+        A_m = D_1 Q_m^T Q^T A Q Q_m D_1 = D_1 Q_m^T Q^T Q R Lambda Inv(R) Q^T Q Q_m D_1\
+        = D_1 Q_m^T R Lambda Inv(R) Q_m D_1
+      $
+      而 $Q_m -> I$，验证发现上式确实趋近于上三角矩阵，且对角元依次就是 $lambda_i$
+    ]
+    #algorithm[带位移的 QR 方法][
+      QR 方法也可以进行位移，也就是：
+      - $A_k - sigma_k I = Q_k R_k$
+      - $A_(k + 1) = R_k Q_k + sigma_k I$
+      其中有：
+      $
+        A_(k + 1) = Q_k^T Q_k R_k Q_k + sigma_k I = Q_k^T (A_k - sigma_k I) Q_k + sigma_k I = Q_k^T A_k Q_k
+      $
+      如何选择 $sigma_k$ 是一个需要考虑的问题。可以设想，若 $sigma_k$ 比较接近最小特征值，则收敛可以明显加速。因此实践中往往取 $sigma_k = A_(k (n n))$
+    ]
+    一旦矩阵有复特征值，我们就不能希望 QR 迭代收敛于上三角矩阵。此时我们需要借助：
+    #theorem[实 Schur 分解][
+      设 $A in RR^(n times n)$，则存在正交矩阵 $Q$ 使得：
+      $
+        Q^T A Q = diag(R_1, R_2, ..., R_n)
+      $
+      其中 $R_i$ 要么是单个特征值，要么是由共轭特征值产生的 $2 times 2$ 块。
+    ]
+    QR 分解和矩阵乘法的复杂度达到 $O(n^3)$，而若迭代进行 $n$ 次，复杂度达到 $O(n^4)$，这是通常不能接受的。
+    #definition[上 Hessenberg 矩阵][
+      称矩阵 $H$ 为上 Hessenberg 矩阵，如果 $H_(i j) = 0, i > j + 1$，也就是次对角线以下都为零
+    ]
+    #theorem[][
+      设 $A in RR^(n times n)$，则存在正交矩阵 $Q$ 使得：
+      $
+        Q^T A Q = H
+      $
+      其中 $H$ 是上 Hessenberg 矩阵。
+    ]
+    #algorithm[][
+      求解上 Hessenberg 分解的方法是：
+      - 先对 $A$ 的第一列做 Householder 变换，将第一列次对角线以下变为零，设变换矩阵为 $Q$
+      - 令 $A_1 = Q A Q^T$，容易验证 $A_1$ 第一列次对角线以下元素为零
+      - 再对 $A_1$ 的第一列做 Householder 变换，重复进行以上步骤即可
+    ]
+    计算量为约为 $14/3 n^3$
+    #theorem[][
+      - 设 $A$ 是非奇异的上 Hessenberg 矩阵，且 QR 分解后 $A = Q R$，则 $R Q$ 也是上 Hessenberg 矩阵。
+      - 若 $A$ 是主对角线和次对角线上没有零的上 Hessenberg 矩阵，它是不可约的
+      - 若 $A$ 是不可约的上 Hessenberg 矩阵，则 $R Q$ 也是不可约的上 Hessenberg 矩阵
+    ]
+    对上 Hessenberg 矩阵进行 QR 分解时，可以考虑利用 $n-1$ 个 Givens 变换，一次迭代计算量仅有 $O(n^2)$
\ No newline at end of file
diff --git "a/\350\275\257\344\273\266\345\210\206\346\236\220/hw/2100012990-\351\203\255\345\255\220\350\215\200-\350\275\257\345\210\206\347\254\254\345\205\253\346\254\241\344\275\234\344\270\232.typ" "b/\350\275\257\344\273\266\345\210\206\346\236\220/hw/2100012990-\351\203\255\345\255\220\350\215\200-\350\275\257\345\210\206\347\254\254\345\205\253\346\254\241\344\275\234\344\270\232.typ"
index d272844..b49b8a4 100644
--- "a/\350\275\257\344\273\266\345\210\206\346\236\220/hw/2100012990-\351\203\255\345\255\220\350\215\200-\350\275\257\345\210\206\347\254\254\345\205\253\346\254\241\344\275\234\344\270\232.typ"
+++ "b/\350\275\257\344\273\266\345\210\206\346\236\220/hw/2100012990-\351\203\255\345\255\220\350\215\200-\350\275\257\345\210\206\347\254\254\345\205\253\346\254\241\344\275\234\344\270\232.typ"
@@ -38,9 +38,14 @@
   #let kill = "kill"
   我们有：
   $
-    f_2 compose f_1 (x) &= gen_2 union ((gen_1 union (x - kill_1)) - kill_2)\
+    f_2 compose f_1 (x) &= (gen_2 union (gen_1 - kill_2)) union (x - (kill_1 union kill_2))\
     f_1 sup f_2 (x) 
     &= (gen_1 union (x - kill_1)) sect (gen_2 union (x - kill_2))\
     &= (gen_1 sect gen_2) union (x - ((kill_1 - gen_2^C) union (kill_2 - gen_1^C)))
   $
+  因此仍可用二元组表示函数，并且有：
+  $
+    (gen_2, kill_2) compose (gen_1, kill_1) &= (gen_2 union (gen_1 - kill_2), kill_1 union kill_2)\
+    (gen_1, kill_1) sup (gen_2, kill_2) &= (gen_1 sect gen_2, (kill_1 - gen_2^C) union (kill_2 - gen_1^C))
+  $
   
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