From f7ce0989e633e71c7a3f0c511771c5548f1ac6fb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yhtq <1414672068@qq.com> Date: Mon, 6 May 2024 17:05:31 +0800 Subject: [PATCH] 5.6 --- template.typ | 5 +- .../main.typ" | 220 +++++++++++++++++- .../main.typ" | 69 +++++- ...345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ" | 41 +++- .../main.typ" | 132 +++++++++++ 5 files changed, 461 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/template.typ b/template.typ index 664db10..03b52e8 100644 --- a/template.typ +++ b/template.typ @@ -40,7 +40,7 @@ $1 + 1$ #let Ass = math.op("Ass") #let Sylow(p) = $"Sylow"-#p$ #let Isom = math.op("Isom") -#let directLimit = $limits(lim)_(arrow.long)$ + #let GL = math.op("GL") #let char = math.op("char") #let Frac = math.op("Frac") @@ -76,7 +76,8 @@ $1 + 1$ #let Ad = math.op("Ad") #let Aut = math.op("Aut") #let algClosure(F) = $#F^"alg"$ -#let inverseLimit(n) = $lim_(arrow.l.long_#n)$ +#let inverseLimit = $limits(lim)_(arrow.l.long)$ +#let directLimit = $limits(lim)_(arrow.long)$ #let AModule(A) = [$#A -$模] #let GEquiv(G) = { $#G -$ diff --git "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" index 57b06d8..0ef6802 100644 --- "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" +++ "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" @@ -3748,7 +3748,223 @@ #example[][ 设 $B = A[T_1, ..., T_n], C = B quo (F)$，由上面的命题有正合列： $ - (F) quo (F^2) -> Omega_(B quo A) tensorProduct_B C -> Omega_(C quo A) -> 0\ - + (F) quo (F^2) -> Omega_(B quo A) tensorProduct_B C -> Omega_(C quo A) -> 0 $ ] += 完备化 + == 拓扑阿贝尔群 + #definition[拓扑阿贝尔群][ + 设 $G$ 是阿贝尔群，$G$ 上的拓扑是说 $G$ 是拓扑空间，且群运算是连续的 + ] + #lemma[][ + $G$ 是拓扑阿贝尔群，则 $G$ 是 Hausdorff 空间当且仅当 ${0}$ 是闭集 + ] + #proof[ + - 若 $G$ 是 Hausdorff 空间，则 ${0}$ 当然是闭集 + - 注意到： + #align(center)[#commutative-diagram( + node((0, 0), $G$, 1), + node((0, 1), $G times G$, 2), + node((1, 0), ${0}$, 3), + node((1, 1), $G$, 4), + arr(1, 2, $"diag"$), + arr(1, 3, $$), + arr(2, 4, $\"-\"$), + arr(3, 4, $$),)] + ] + #lemma[][ + 设 $H$ 为所有 $0$ 的邻域的交，则： + - $H$ 是子群 + - $H = overline({0})$ + - $G quo H$ 是 Hausdorff 空间 + - $G$ 是 Hausdorff 空间当且仅当 $H = {0}$ + ] + #proof[ + - 设 $x, y in H$ ，任取 $0$ 的开邻域 $O$，注意到 $T_x: G -> G$ 连续，则 $Inv(T_x)(O)$ 是开集。同时 $x in O => 0 in Inv(T_x)(O) => y in Inv(T_x)(O) => x + y in O$ + - #TODO + - 不难发现 ${0} subset G quo H$ 当然是闭集，因此结论成立 + - 就是上面的引理 + ] + == 拓扑完备化 + #definition[拓扑完备化][ + 设 $G$ 是拓扑阿贝尔群，且 $0$ 处有可数邻域基，则可以定义完备化 $hat(G)$ 为所有柯西序列的等价类，其中： + - ${x_n}$ 是柯西序列当且仅当任取 $0$ 的开邻域 $U$ 均有对于充分大的 $n, m$ 有 $x_n - x_m in U$ + - 两个柯西序列 $x_n, y_n$ 等价当且仅当 $x_n - y_n -> 0$，也即任取 $0$ 的开邻域 $U$ 均有对于充分大的 $n$ 有 $x_n - y_n in U$ + 在其上定义： + - ${x_n} + {y_n} = {x_n + y_n}$ + - + $ + funcDef(phi, G, hat(G), a, {a}) + $ + 一般来说 $phi$ 不是单射。事实上，$ker phi$ 就是 $0$ 的所有开邻域的交，因此 $phi$ 是单射当且仅当 $G$ 是 Hausdorff 空间 + - 函子性：设 $f: G -> H$ 是连续同态，则柯西序列的像还是柯西序列，从而 $f$ 可以诱导 $hat(f)$ ，也即完备化具有函子性 + ] + #example[][ + 假设 $0$ 处具有一族子群构成的邻域基，且满足： + $ + G = G_0 >= G_1 >= ... >= G_n >= ... + $ + 并且 $U$ 是 $0$ 的邻域当且仅当存在 $G_n subset U$，此时断言： + - $G_n$ 既开由闭 + - 先证明开集，设 $g in G_n$ 则 $g + G_n subset G_n$ 是 $g$ 的一个 $G_n$ 中的开邻域，继而 $G_n$ 一定是开集 + - 再证明闭集，既然 $G - G_n = union_(h in.not G_n) （h + G_n）$ 是开集，因此 $G_n$ 是闭集 + 此时，完备化可以有纯代数的定义： + $ + hat(G) tilde.eq inverseLimit G quo G_n + $ + 同构如下给出： + - 任取 $(xi_n) in inverseLimit G quo G_n$，给出对应的柯西序列为： + $ + x_n in G\ + x_n = xi_n mod G_n\ + $ + 此时将有 $x_(n+1) - x_n in G_n$，不难验证它是柯西序列 + - 任取柯西序列 $(x_n)$，既然只要 $m, m'$ 充分大即有： + $ + overline(x_m) = overline(x_m') in G quo G_n + $ + 因此对充分大的 $m$ 定义 $xi_m = overline(x_m) in G quo n$ + ] + #lemma[][ + 若: + $ + 0 -> {A_n} -> {B_n} -> {C_n} -> 0 + $ + 是逆向系统的正合列，则： + $ + 0 -> inverseLimit A_n -> inverseLimit B_n -> inverseLimit C_n + $ + 正合（逆向极限是左正合的） + + 进一步，若 $A_n$ 是满射系统（也即每个 $A_(n+1) -> A_n$ 是满射），则： + $ + 0 -> inverseLimit A_n -> inverseLimit B_n -> inverseLimit C_n -> 0 + $ + 正合 + ] + #proof[ + 设 $A = product A_n$，定义： + $ + funcDef(d_A, A, A, (a_n), (a_n - overline(a_(n+1)))) + $ + 则 $ker d_A = inverseLimit A_n$\ + 将有交换图表： + #align(center)[#commutative-diagram( + node((0, 0), $0$, 1), + node((0, 1), $A$, 2), + node((0, 2), $B$, 3), + node((0, 3), $C$, 4), + node((1, 0), $0$, 5), + node((1, 1), $A$, 6), + node((1, 2), $B$, 7), + node((1, 3), $C$, 8), + node((0, 4), $0$, 9), + node((1, 4), $0$, 10), + arr(1, 2, $$), + arr(2, 3, $$), + arr(3, 4, $$), + arr(5, 6, $$), + arr(6, 7, $$), + arr(7, 8, $$), + arr(2, 6, $d_A$), + arr(3, 7, $d_B$), + arr(4, 8, $d_C$), + arr(4, 9, $$), + arr(8, 10, $$), + + )] + 蛇形引理给出正合列： + $ + 0 -> ker d_A -> ker d_B -> ker d_C -> coker d_A -> coker d_B -> coker d_C -> 0 + $ + 进一步，若 ${A_n}$ 是满系统，只需证明 $d_A$ 满继而 $coker d_A = 0$. 事实上，任给 $(a_n) in A$，只需找到 $(x_n)$ 使得 $x_n - overline(x_(n+1)) = a_n$，递归定义即可 + ] + #corollary[][ + 设 $G$ 满足 @alg-top-completion 的条件，且有正合列： + $ + 0 -> G' -> G -> G'' -> 0 + $ + 其中 $G', G''$ 分别用 ${G_n sect G'}$ 和 ${(G -> G'') (G_n)}$ 定义拓扑，将有： + $ + 0 -> hat(G') -> hat(G) -> hat(G'') -> 0 + $ + 正合。 + ] + #proof[ + 注意到有正合列： + $ + 0 -> {G quo G' sect G_n} -> {G quo G_n} -> {G quo ((G -> G'') (G_n))} -> 0 + $ + 取逆向极限利用之前的结论立得结论成立 + ] + #corollary[][ + 取正合列: + $ + 0 -> G_n -> G -> G quo G_n -> 0 + $ + 若设 $G quo G_n$ 有离散拓扑，完备化就是本身，即可得正合列： + $ + 0 -> hat(G_n) -> hat(G) -> G quo G_n -> 0 + $ + 因此： + $ + hat(G) quo hat(G_n) tilde.eq G quo G_n + $ + 特别的，$hat(hat(G)) = hat(G)$（取逆向极限即可） + ] + #proof[ + 利用之前的结论即可 + ] + #definition[完备][ + 设 $phi: G -> hat(G)$ 是同构，则称 $G$ 是完备空间。 + ] + #proposition[][ + - 既然 $ker phi = {0}$ 故完备空间一定 Hausdorff + - 在 @completion-of-completion 的条件中，$hat(G)$ 当然一定是完备空间 + ] + #example[环/模的完备化][ + - 设 $A$ 是环，$I$ 是理想，取 $G = A, G_n = I^n$，由 $G_n$ 定义的拓扑称为 $I$-adic 拓扑，如此可以产生完备化： + $ + hat(A) = inverseLimit A quo I^n, phi: A -> hat(A), ker phi = sect I_n + $ + - 设 $M$ 是 $AModule(A)$，取 $G = M, G_n = I^n M$ 类似可以定义 $M$ 上的 $I$-adic 拓扑，以及 $hat(M)$ 称为连续 $AModule(A)$（$A$ 在其上的作用是连续的） + - 特别的： + - 取 $A = k[x], I = (x)$，则 $hat(A) = k[[x]]$ 就是形式幂级数环 + - 取 $A = ZZ, I = (p)$，则 $hat(A) = ZZ_p$ 就是 $p$-进整数环 + ] + #definition[][ + 设 $M$ 是$AModule(A)$，$I$ 是理想，称一个 $M$ 的 $A$ filtration 是一个子模的无穷序列： + $ + M = M_0 >= M_(1) >= ... + $ + - 称之为 $I-$filtration ，如果 $I M_n subset M_(n+1)$ + - 称之为稳定 $I-$filtration ，如果满足上条的条件且对于充分大的 $n$ 有 $I M_n = M_(n+1)$ + ] + #example[][ + $(I^n M)$ 当然是稳定 $I-$filtration + ] + #lemma[稳定 $I-$filtration给出相同的拓扑][ + 若 $(M_n), (M'_n)$ 都是稳定 $I-$filtration，则它们有有界差距（bounded diffrence）也即： + $ + forall n > 0, exists n_0, M_(n+n_0) subset M'_n, M'_(n+n_0) subset M_n + $ + 因此，$(M_n), (M'_n)$ 定义相同的 $I-$adic 拓扑 + ] + #proof[ + 不妨设 $M' = I^n M$，此时当然有： + - $I M_n subset M_(n+1) => M'_n subset M_n$ + #TODO + ] + == 分次环 + #definition[分次环|graded ring][ + 设 $A$ 是环，$A = directSum A_n$，称 $A$ 是分次环，若 $A_i A_j subset A_(i+j)$ + + 此时，称 $A_i$ 为 $i$ 次齐次部分。设 $I$ 是 $A$ 的理想，则称 $I$ 是齐次的，若 $I = directSum (I sect A_i)$，也即它被齐次元素生成 + ] + #lemma[][ + 设 $I$ 是齐次理想，则 $I$ 是素理想当且仅当任取齐次元素 $x, y, x y in I$ 均有 $x in I or y in I$ + ] + #example[][ + - 最典型的，多项式环当然是分次环 + - + ] diff --git "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" index ec5277d..2946053 100644 --- "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" +++ "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" @@ -2068,4 +2068,71 @@ $ 这给出了可行的 $C$ ] - 上述命题表明，解一般线性微分方程的困难根本上来源于求齐次线性微分方程基础解矩阵的困难 \ No newline at end of file + 上述命题表明，解一般线性微分方程的困难根本上来源于求齐次线性微分方程基础解矩阵的困难 + == 常系数线性微分方程 + 为了叙述方便，我们先给出矩阵幂级数，指数等定义 + #definition[][ + - 本节中定义矩阵的模为 $sum_(i, j) abs(a_(i j))$ 或 $max_(abs(x) = 1) abs(A x)$，它们都满足 $abs(A B) <= abs(A) abs(B)$ + - 形式定义： + $ + e^A = sum_(n = 0)^infinity A^n/n! + $ + 注意到矩阵绝对收敛只需要每个分量绝对收敛，同时 + $ + sum_(n = 0)^infinity abs(A^n/n!) <= sum_(n = 0)^infinity abs(A)^n/n! = e^(abs(A)) < +infinity + $ + 满足性质： + - 若 $A B = B A$ 则 $e^(A + B) = e^A e^B$ + - $det(e^A) = e^(tr(A)) > 0$（证明需要若当标准型） + ] + #theorem[][ + 给定常系数微分方程 $y' = A y + f(x)$ ，则 $e^(A x)$ 是方程的基础解矩阵 + ] + 以上结论非常漂亮，结合之前的理论我们可以求解出方程的通解。唯一的问题是按照定义求出 $e^(A x)$ 并不容易。 + + #example[][ + 由约当标准型，可设： + $ + A = P D P^(-1)\ + D = sum_(d=1)^(d_max) sum_(lambda in Lambda) sum_s lambda I + J_(d s) + $ + 其中 $d$ 是约当块维度，$s$ 代表不同的块。这些块都在不同的位置上，乘积为零，因此： + $ + D^n = (sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s lambda I + J_(d s))^n\ + = sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s (lambda I + J_(d s))^n\ + = sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(i=0)^n C_n^i lambda^(n-i) J_(d s)^i\ + = sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(i=0)^(min {d, n}) C_n^i lambda^(n-i) J_(d s)^i\ + $ + 注意到 $n > d$ 时上式的求和项数已与 $n$ 无关，$n < d$ 仅有有限个，因此可以求出 $D^n$ 的通式，利用： + $ + e^(A x) = sum_(k=0)^infinity A^k/k! x^k = P (sum_(k=0)^infinity D^k/k! x^k) Inv(P)\ + = P (sum_(k=0)^infinity 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(i=0)^(min {d, k}) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k)) Inv(P)\ + = P (sum_(k=0)^infinity 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(i=0)^(min {d_max, k}) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k)) Inv(P)\ + = P (sum_(k=0)^d_max 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(i=0)^(n) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k) + sum_(k=d_max + 1)^infinity 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(i=0)^(d_max) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k)) Inv(P)\ + = P (sum_(k=0)^d_max 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(i=0)^(k) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k) + sum_(d) sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(i=0)^(d_max) J_(d s)^i sum_(k=d_max + 1)^infinity 1/k! C_k^i lambda^(k-i) x^k ) Inv(P)\ + $ + 上式第二项可以求得，第一项仅有有限项 + + 当然，这里的计算是极其麻烦的。有些时候，我们可以用技巧大大简化，例如： + - 若 $A$ 可对角化，则 $d_(max) = 0$ 上式简化为： + $ + P (sum_(lambda in Lambda) sum_s sum_(k=0)^infinity 1/k! lambda^(k) x^k J_(0 s) ) Inv(P) = P e^(D x) Inv(P) + $ + - 若可求得 $A$ 的零化多项式，可以尝试降次 + - 若 $A$ 仅有一个特征值 $lambda$ 则有： + $ + e^(A x) = e^(lambda x) e^((A - lambda) x) + $ + 后者第二项是幂零矩阵，可以直接求出 + ] + #example[][ + 有些形式较好的方程并不用使用上面的一般方法求解，例如： + $ + cases( + x' = y + z, + y' = x + y, + z' = x + z + ) + $ + 三式相加，立得 $(x + y + z)' = x' + y' + z' = 2 (x + y + z), x+ y + z = C_1 e^(2t)$，代回得 $x' = e^(2 t) - x$ 解出即可 + ] \ No newline at end of file diff --git "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ" "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ" index 7798162..1e2f301 100644 --- "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ" +++ "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/\344\275\234\344\270\232/2100012990 \351\203\255\345\255\220\350\215\200 \345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213 5.typ" @@ -10,7 +10,7 @@ withOutlined : false, withTitle :false, ) -应交时间为 5月8日 +应交时间为 5月6日 #set heading(numbering: none) = 162 == 3 @@ -97,3 +97,42 @@ ) $ 解得 $u = (x^3-1)/(3 x)$ += 172 + == 1 + 设 $y(x)$ 满足题中等式，有： + $ + y = Phi(x)(Inv(Phi)(x_0) y_0+ integral_(x_0)^(x) Inv(Phi)(s) f(s, y(s)) dif s)\ + y' = Phi'(x) (Inv(Phi)(x_0) y_0+ integral_(x_0)^(x) Inv(Phi)(s) f(s, y(s)) dif s) + Phi(x) Inv(Phi)(x) f(x, y(x))\ + = Phi'(x) (Inv(Phi)(x_0) y_0+ integral_(x_0)^(x) Inv(Phi)(s) f(s, y(s)) dif s) + f(x, y(x))\ + = Phi'(x) Inv(Phi)(x) y + f(x, y(x))\ + = A(x) Phi(x) Inv(Phi)(x) y + f(x, y(x))\ + = A(x) y + f(x, y(x)) + $ + 因此积分方程的解也是微分方程的解，另一方面设 $y$ 是微分方程的解，则有： + $ + (Inv(Phi)(x) y)' = Inv(Phi)'(x) y + Inv(Phi)(x) y' = Inv(Phi)'(x) y + Inv(Phi)(x) (A(x) y + f(x, y))\ + = Inv(Phi)'(x) y + Inv(Phi)(x) (Phi'(x) Inv(Phi)(x) y + f(x, y))\ + = Inv(Phi)(x) + f(x, y) + $ + 两边积分即可 + == 3 + 注意到齐次线性微分方程的解应当两两不交，因此当然不能同时为解 + == 4 + 先解 $x$ 将有： + $ + x' = 2/t x + 1 + $ + 这是一阶线性微分方程，其解为： + $ + x = C_1 t^2 - t + $ + 因此： + $ + y' = 1/t (C_1 t^2 - t) + y\ + y' = C_1 t + y - 1 + $ + 其解为： + $ + y = C_2 e^t + C_1 (-1-t) e^(-t) + e^(-t) + $ + diff --git "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" index d642b3c..d46e99d 100644 --- "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" +++ "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" @@ -1687,4 +1687,136 @@ 这里 $A(d, n)$ 是与组合相关的函数，这里不再详细叙述。代回计算可得结论成立 ] 从上面的定理可以看出，稀疏网格理所应当的用精度的降低换来了效率的提升。 + == Gauss 积分公式 + 在许多数学分支中，高维积分的计算都是很重要的问题。例如函数的分解往往涉及在若干基上的投影，而投影往往需要设计内积也就是高维函数的积分进行表示。\ + 通常的积分问题可以表示为： + $ + integral_(Omega)^() u(x) w(x) dif x + $ + 其中 $Omega$ 是积分区域，$w$ 是给定权函数。方便起见，记： + $ + I u = integral_(Omega)^() u(x) w(x) dif x + $ + === 一维情形 + 我们先考虑如何计算一维的积分 + #lemma[][ + - 闭区间上黎曼可积函数可被连续函数 $L^1$ 逼近 + - 闭区间上连续函数可被多项式函数一致逼近 + ] + 由上面两个引理，我们可以知道只要找到逼近可积函数的多项式函数就可以得到积分的逼近。对于有解析表达式的函数这样的方法非常常见，例如最简单的解析函数可以被泰勒级数展开，再计算级数的积分即可。这种思路可以被称之为*拟合*。 + ==== 拉格朗日插值 + 然而，许多时候函数是由网格点给出的，此时我们需要采用*插值*的思路，我们希望给出插值多项式 $p(x)$ 使得在 $N + 1$ 个点上有 $p(x) = u(x)$，事实上，这样的多项式唯一存在。 + #definition[Lagrange 插值][ + 给定函数 $u$ 和插值点 $x_0, x_1, ..., x_n$，称： + $ + h(x) = sum_(i=0)^N u(x_i) h_i (x)\ + where h_i (x) = product_(0 <= j <= N, j!= i) (x - x_j)/(x_i - x_j) + $ + 且有 $h(x_i) = u(x_i)$ + ] + #theorem[][ + 若 $u(x) in C^(N+1) ([a, b])$，则对任意 $x in [a, b]$，存在 $xi in [a, b]$ 使得： + $ + u(x) = h(x) + r(x)\ + where r(x) = 1/(N+1)! u^((N+1)) (xi) product_(i=0)^N (x - x_i) + $ + 其中 $r(x)$ 也称作残量 + ] + #proof[ + 反复使用罗尔定理即可，具体参考数学分析课程 + ] + #definition[数值积分公式][ + 用上式估计@N-integral 可得： + $ + integral_(a)^(b) u(x) w(x) dif x\ + = integral_(a)^(b) h(x) w(x) dif x + integral_(a)^(b) r(x) w(x) dif x\ + = sum_(i=0)^N u(x_i) integral_(a)^(b) h_i (x) w(x) dif x + integral_(a)^(b) r(x) w(x) dif x\ + $ + 令： + $ + w_i = integral_(a)^(b) h_i (x) w(x) dif x\ + Q u := sum_(i=0)^N u(x_i) w_i dif x\ + R u := integral_(a)^(b) r(x) w(x) dif x + $ + 用 $Q u$ 计算 $I u$ 的方法称为数值积分公式。 + + ] + + 为了衡量数值积分公式的好坏，一种方式是所谓的*代数精度*，它利用了试验函数的方法，利用公式在某种具体函数上的表现来衡量精度 + #definition[代数精度][ + 对于一般的数值积分公式，设其逼近函数 $u$ 产生残量为 $Q u$，若自然数 $m$ 使得： + - 任意不高于 $m$ 次的多项式 $f(x)$ 都有 $Q f = 0$ + - 存在 $m+1$ 次多项式使得 $Q f != 0$ + 则称该数值积分公式有 $m$ 阶代数精度 + ] + #proposition[][ + @Lang-integral 具有至少 $N$ 阶代数精度，且精度不超过 $2 N + 1$ + ] + #proof[ + - 一方面，显然不高于 $N$ 阶的多项式都可以被拉格朗日插值精确逼近，因此对这些 $f$ 一定有 $Q f = 0$，换言之公式至少具有 $N$ 阶代数精度 + - 另一方面，考虑 $u := product_(0 <= i <= N) (x-x_i)^2$，显然 $I u > 0, Q u = 0 => R u != 0$，这是 $2 N +2 $ 次代数精度，因此代数精度不超过 $2 N + 1$ + ] + 注意到在 @Lang-integral 中，$w_i$ 事实上只与 $x_i$ 有关，因此自然的想法是选取更加合适的 $x_i$ 以获得更好的代数精度。 + === 高斯积分 + #theorem[][ + 设 $P_(N+1)$ 是 $N+1$ 次（在给定的区间和权函数下的）正交多项式，也即 $generatedBy(1\, x\, ... \, x^n)$ 的正交基，取 $x_i$ 是 $P_(N+1)$ 的某个零点，则这样的零点恰有 $N+1$ 个，且 @Lang-integral 的数值精度恰为 $2N + 1$ + ] + #proof[ + 任取不高于 $2N + 1$ 次多项式 $p$，利用辗转相除法有： + $ + p = a(x) P_(N+1) (x) + b(x) + $ + 其中 $deg b(x) <= N, deg a(x) <= N$ + + 此时有： + $ + I p &= integral_(a)^(b) a(x) P_(N+1) (x) + b(x) dif x\ + &= integral_(a)^(b) b(x) dif x\ + &"（正交多项式比次数更低的多项式都正交）"\ + &= Q b\ + &= sum_i b(x_i) w_i\ + &= sum_i (p(x_i) - a(x_i) P_(N+1) (x_i)) w_i\ + &= Q p + $ + ] + 从实用性角度，我们希望正交多项式是便于计算的，之后无论利用何者方法，只需求出该多项式的零点，对于任何函数在给定区间上的加权积分都可以直接计算。 + #lemma[][ + 给定区间和权函数，则存在唯一首一正交多项式列 ${p_n}$ 使得 $deg p_n = n, n = 0, 1, 2, ...$ + ] + #proof[ + - 对于存在性，直接对 $generatedBy(1\, x\, ...\, x^n\, ... )$ 从低次到高次进行施密特正交化，观察施密特正交化的算法可得次数的条件也是满足的。 + + 这里我们也可以采用与一般的施密特正交化在形式上略微不同的三项递推形式。事实上，假设 $p_(n), p_(n-1)$ 已经求得，由带余除法我们希望有如下的形式： + $ + p_(n+1) = (x + a) p_n + r_n (x) + $ + 不难看出 $r_n (x)$ 将与 $1, x, ..., x^(n-1)$ 都正交，继而不妨取 $r_n = b p_(n-1) (x)$，有： + $ + p_(n+1) = (x + a_n) p_n + b_n p_(n-1) (x) + $ + 为了求出待定的 $a, b$，直接做内积可得： + $ + inner(p_(n+1), p_n) = 0 = inner(x p_n, p_n) + a inner(p_n, p_n) \ + inner(p_(n+1), p_(n-1)) = 0 = inner(x p_n, p_(n-1)) + b inner(p_(n-1), p_(n-1)) + $ + 反解出对应的 $a_n, b_n$ 即可 + - 对于唯一性，注意到 $p_n$ 落在 $generatedBy(1\, x\, ...\, x^n)$，且与 $1, x, ..., x^(n-1)$ 都正交，继而落在 $generatedBy(1\, x\, ...\, x^(n-1))$ 的正交补空间之中，这个正交补空间仅有一维，因此两两之间只差常数，继而其中首一的多项式唯一 + ] + #lemma[][ + 正交多项式 $p_n$ 的根恰好是对称三对角矩阵： + $ + mat(alpha_1, beta_1, 0, ..., 0; + beta_1, alpha_2, beta_2, ..., 0; + 0, beta_2, alpha_3, ..., 0; + dots.v, dots.v, dots.v, ..., dots.v; + 0, ..., 0, beta_(n-1), alpha_n) + + + $ + 的所有特征值，其中： + $ + alpha_i = b_i / a_i, beta_j = 1/a_(j-1) sqrt(inner(p_j, p_j)/inner(p_(j-1), p_(j-1))) + $ + ] + \ No newline at end of file