From ff6bade38065dcf3b53daa298af41327d3a02c6f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: yhtq <1414672068@qq.com> Date: Mon, 15 Apr 2024 17:02:20 +0800 Subject: [PATCH] 4.15 --- template.typ | 2 + .../main.typ" | 332 ++++++++++++++++-- .../\344\275\234\344\270\232/hw6.typ" | 4 +- .../main.typ" | 158 ++++++++- .../main.typ" | 123 ++++++- 5 files changed, 579 insertions(+), 40 deletions(-) diff --git a/template.typ b/template.typ index c6a11aa..769f9fc 100644 --- a/template.typ +++ b/template.typ @@ -33,7 +33,9 @@ $1 + 1$ #let Hom = math.op("Hom") #let Proj = math.op("Proj") #let Spec = math.op("Spec") +#let Spv = math.op("Spv") #let Tor = math.op("Tor") +#let ht = math.op("height") #let Ann = math.op("Ann") #let Ass = math.op("Ass") #let Sylow(p) = $"Sylow"-#p$ diff --git "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" index dec6ad7..c2441c0 100644 --- "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" +++ "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/main.typ" @@ -827,6 +827,12 @@ #example[][ $Hom(M, *) : Mod(A) -> Mod(A)$ 是共变的加性函子，另一侧 $Hom(*, N)$ 是反变函子，它们都是左正合的 ] + #lemma[][ + 设 $E_i$ 是复形，则 $directSum_i (E_i)$ 正合当且仅当 $forall i, E_i$ 正合 + ] + #proof[ + 注意到 $ker(directSum_i (f_i)) = directSum_i ker f_i$，$im$ 类似，因此结论显然 + ] #definition[导出函子][ 对于任意的左正合（加性）函子 $F$，一族函子 $Mod(A)-> Mod(B)$： $ @@ -1829,15 +1835,31 @@ $ 这个模被称为标量限制 ] + #proposition[][ + 若 $B$ 是有限 $A-$代数，$N$ 是有限生成 $AModule(B)$，则 $N$ 的标量限制是有限生成 $AModule(A)$ + ] + #proof[ + 设 $B = sum_i A x_i, N = sum_i B y_i$，则： + $ + N = sum_i B y_i = sum_i sum_j A x_j y_i + $ + 这只是有限和，因此当然 $x_j y_i$ 成为一组生成元 + ] + #remark[][ + 若 $B$ 不是有限的，限制当然未必有限生成。例如取 $B = A[x], N = A[x]$ + ] #definition[扩张][ 设 $f: A -> B$ 是环同态，给出函子： $ funcDef(f, Mod_A, Mod_B, M, B tensorProduct_A M := M_B) $ - 称为扩张 + 称为扩张，也即将 $M$ 转化为了 $AModule(B)$ ] #proposition[][ - 设 $M$ 是有限生成 $AModule(A)$，则扩张 $M_B$ 也是有限生成 $AModule(A)$，但限制未必 + 设 $M$ 是有限生成 $AModule(A)$，则扩张 $M_B$ 也是有限生成 $AModule(B)$ + ] + #proof[ + 容易验证若 $x_i$ 生成 $M$，则 $1 tensorProduct x_i$ （作为 $AModule(B)$ ）生成 $M_B$ ] #proposition[][ 设 $Inv(S) A$ 是分式环，有： @@ -1879,7 +1901,7 @@ m/s tensorProduct n/t -> (m tensorProduct n)/(s t) $ 给出 - ] + ] #proof[ $ Inv(S) M tensorProduct_(Inv(S) A) Inv(S) N \ @@ -1892,6 +1914,16 @@ $ 我们证明了它们之间存在同构，容易验证该同构只能是上述形式 ] + #lemma[][ + 设 $M$ 是$A-$自由模，则 $M_B = B tensorProduct_A M$ 是 $B-$ 自由模 + ] + #proof[ + 设 $M = directSum_i A$，则： + $ + M_B = B tensorProduct_A M = directSum_i B + $ + 当然是自由模 + ] == $Hom, tensorProduct$ 的伴随性 #definition[][ 设 $T: Mod_A -> Mod_B, U = Hom_A (N, -)$ ，称 $(T, N)$ 是伴随对，如果： @@ -1946,13 +1978,12 @@ + 任意正合列 $E$，张量积 $E tensorProduct N$ 也是正合的 + 设 $M' ->^f M$ 是单射，则 $M' tensorProduct N ->^f M tensorProduct N$ 也是单射 + 对于任意 $M, M'$ 有限生成，$M' ->^f M$ 单导出 $M' tensorProduct N ->^f M tensorProduct N$ 也是单射 - + 任意有限生成理想 $I subset A$，序列 $0 -> I tensorProduct M -> M$ 正合（也即 $I M tilde.eq I tensorProduct M$ 此时，称 $N$ 是平坦模 ] #proof[ - 只证明 $4 => 3$，假设 $M' ->^f M$ 是单射，往证 $M' tensorProduct N ->^f' M tensorProduct N$ 单 - - 设 $u = sum x_i tensorProduct y_i in ker (f') => 0 = sum f(x'_i) tensorProduct y_i$，由 @zero-tensor-product-fg 知存在有限生成子模 $M_0$ 使得 $0 = sum f(x'_i) tensorProduct y_i in M_0 tensorProduct N$，由于 $f$ 在有限生成模上的提升是单射，$x'_i = 0$，因此 $u = 0$ + - $4 => 3$，假设 $M' ->^f M$ 是单射，往证 $M' tensorProduct N ->^f' M tensorProduct N$ 单 + 设 $u = sum x_i tensorProduct y_i in ker (f') => 0 = sum f(x'_i) tensorProduct y_i$，由 @zero-tensor-product-fg 知存在有限生成子模 $M_0$ 使得 $0 = sum f(x'_i) tensorProduct y_i in M_0 tensorProduct N$，由于 $f$ 在有限生成模上的提升是单射，$x'_i = 0$，因此 $u = 0$ + - 其余情况显然 ] #proposition[平坦性是局部性质][ 以下命题等价： @@ -1980,13 +2011,27 @@ 平坦模的扩张仍是平坦模 ] #proof[ - 设 $N -> P$ 是单射，往证 $N tensorProduct M_B -> P tensorProduct M_B$ 是单射 + 事实上，设 $E$ 是正合列，有： + $ + E tensorProduct_B M_B = E tensorProduct_B (B tensorProduct_A M) = (E tensorProduct_B B) tensorProduct_A M = E tensorProduct_A M + $ + 因此 $E tensorProduct_B M_B$ 作为 $Mod_A$ 中复形正合，而正合性与把它看作哪个环上的模当然无关，因此它也是 $Mod_B$ 中复形，证毕 + ] + #proposition[][ + $directSum_i M_i$ 平坦当且仅当对于每个 $i$ 均有 $M_i$ 平坦 + ] + #proof[ + 注意到张量积与直和交换，因此任取正合列 $E$ 将有： + $ + E tensorProduct (directSum_i M_i) = directSum_i (E tensorProduct M_i) + $ + 利用 @directSum-exact 可得结论成立 ] #proposition[][ 投射模都是平坦模 ] #proof[ - 前面 @projective-module 给出投射模是自由模的直和，而自由模是平坦的，它的直和也是平坦的 + 前面 @projective-module 给出投射模是自由模的直和项，而自由模是平坦的，它的直和项也是平坦的 ] #lemma[][ 任取投射模构成的正合列： @@ -2018,6 +2063,11 @@ x_i = sum_j b_(i_j) y_j\ sum_i a_i b_(i_j) = 0, forall j $ + 写成矩阵语言就是若 $alpha^T X = 0$，则存在 $C, Y$ 使得： + $ + X = C Y\ + alpha^T C = 0 + $ ] #proof[ - $1 => 2\/3\/4\/5, 2 => 3$ 显然\ @@ -2074,7 +2124,7 @@ X = sum_j beta_j tensorProduct y_j $ 计算可得这就是结论 - - $6 -> 3$\ + - $6 => 3$\ 假设 $sum_i a_i x_i = 0$，往证 $sum_i a_i tensorProduct x_i = 0$，继而对应位置是单射，结论成立\ 由条件，可设： $ @@ -2116,6 +2166,7 @@ E tensorProduct_B (M tensorProduct_A B) = (E tensorProduct_B B) tensorProduct_A M = E tensorProduct_A M $ 当然正合 + - 利用 @tensor-product-localization 显然 ] #proposition[][ 设 $phi: A -> B$ 是平坦同态，则： @@ -2128,22 +2179,22 @@ $ ] #proof[ - 选取投射模正合列： + 选取投射 $AModule(A)$正合列： $ ... -> P_1 -> P_0 -> M -> 0 $ - 有： + 有正合列： $ ... -> P_1 tensorProduct B-> P_0 tensorProduct B-> M tensorProduct B -> 0 $ - 注意到 $P_i tensorProduct B$ 是自由 $AModule(B)$ 的直和项，因此还是投射模\ - #TODO\ + 断言 $P_i tensorProduct B$ 是自由 $AModule(B)$ 的直和项，因此还是投射模\ + 事实上，设 $B^X = P_i directSum Q$，则 $A^X tensorProduct_A B = (P_i tensorProduct B) directSum (Q tensorProduct B)$，只需证明 $A^X tensorProduct_A B$ 是自由 $AModule(B)$，这就是 @free-extension 计算： $ - "Tor"_i^B (M tensorProduct_A B, N tensorProduct_A B) = H_i (P tensorProduct B tensorProduct (N tensorProduct B))\ - = H_i (P tensorProduct N tensorProduct B)\ - = H_i (P tensorProduct N) tensorProduct B\ - = "Tor"_i^A (M, N) tensorProduct B + "Tor"_i^B (M tensorProduct_A B, N tensorProduct_A B) = H_i ((P tensorProduct_A B) tensorProduct_B (N tensorProduct_A B))\ + = H_i (P tensorProduct_A N tensorProduct_A B)\ + = H_i (P tensorProduct_A N) tensorProduct_A B\ + = "Tor"_i^A (M, N) tensorProduct_A B $ ] #theorem[][ @@ -2234,7 +2285,7 @@ ] #corollary[][ - 设 $A, B$ 是局部环，$psi: A -> B$ 是局部同态，$M$ 是有限 $AModule(A)$，则 $M$ 是 $A$ 上的忠实平坦模当且仅当它是平坦模 + 设 $A, B$ 是局部环，$psi: A -> B$ 是局部同态，$M$ 是有限 $AModule(B)$，则 $M$ 是 $A$ 上的忠实平坦模当且仅当它是平坦模 ] #proof[ 设 $m_A, m_B$ 是极大理想，注意到： @@ -2246,6 +2297,19 @@ #proposition[][ 自由模是忠实平坦的 ] + #lemma[][ + 设 $M$ 在 $A$ 上忠实平坦，则： + - $M quo I M$ 在 $A quo I$ 上忠实平坦 + - $Inv(S) M$ 在 $Inv(S) A$ 上忠实平坦 + ] + #proof[ + 注意到： + $ + (M quo I M) tensorProduct_(A quo I) E = (M tensorProduct_A A quo I) tensorProduct_(A quo I) E = M tensorProduct_A E\ + Inv(S) M tensorProduct_(Inv(S) A) Inv(S) E = M tensorProduct_A E + $ + 因此结论显然 + ] #proposition[][ 设 $psi:A -> B$ 是环同态使得 $B$ 忠实平坦，则： + $forall N in Mod_A, N -> N tensorProduct B$ 是单射。特别的，$psi$ 是单射 @@ -2268,7 +2332,7 @@ $ ker(A quo I -> B quo I B) = (A sect I B) quo I = 0 => A sect I B = I $ - - 任取 $p in Spec(A)$，做局部化，断言 $B_p = B tensorProduct A_p$ 在 $A_p = A tensorProduct A_p$ 上忠实平坦\ + - 任取 $p in Spec(A)$，做局部化，断言 $B_p = B tensorProduct A_p$ 在 $A_p$ 上忠实平坦\ 由之前的定理，这表明在唯一的极大理想 $p A_p$ 上，有： $ p B_p != B_p @@ -2277,11 +2341,27 @@ $ p B_p subset m subset.neq B_p $ - 此时，当然有： - $ - m sect A_p supset p A_p => m sect A_p = p A_p - $ - 取 $overline(p) = m sect B$，则 $p sect A = p$，证毕 + 交换图： + #align(center)[#commutative-diagram( + node((0, 0), $A$, 1), + node((0, 1), $B$, 2), + node((1, 0), $A_p$, 3), + node((1, 1), $B_p = B tensorProduct A_p$, 4), + arr(1, 2, $phi$), + arr(1, 3, $$), + arr(2, 4, $$), + arr(3, 4, $$),)] + 中依次取逆像得： + #align(center)[#commutative-diagram( + node((0, 0), $p_A$, 1), + node((0, 1), $p_B$, 2), + node((1, 0), $p_A A_p$, 3), + node((1, 1), $m$, 4), + arr(1, 2, $phi$), + arr(1, 3, $$), + arr(2, 4, $$), + arr(3, 4, $$),)] + 然而注意到 $p A_p subset p_A A_p => p_A = p$，证毕 ] #theorem[结构性定理][ 设 $psi:A -> B$ 是环同态，以下条件等价： @@ -2293,16 +2373,16 @@ #proof[ - $1 => 2$ 已经证明 - $2 => 3$\ - 注意到对于任取 $m in max(A)$，存在 $m' in Spec(B)$ 使得 $psi(m) = m'$\ + 注意到对于任取 $m in max(A)$，存在 $m' in Spec(B)$ 使得 $m = Inv(psi)(m')$\ 将 $m'$ 扩充成极大理想 $m''$，将有 $m subset Inv(psi)(m'')$，由极大性可得 $m = Inv(psi)(m'') => psi(m) subset m''$ - $3 => 1$\ - 只要证任取 $m in max(A), m B != 0$\ + 只要证任取 $m in max(A), m B != B$\ 事实上，由条件存在 $m' in max(B)$ 使得 $m B subset m' != B$，因此当然有 $m B != B$ ] #proposition[faithfully flat descent][ 设 $B$ 是 $A$ 上的忠实平坦代数，$M$ 是 $AModule(A)$，则： - $M$ 是平坦/忠实平坦 $<=> M tensorProduct_A B$ 在 $B$ 上平坦/忠实平坦 - - 若 $A$ 是局部环且 $M$ 在 $A$ 上有限，则 $M$ 是自由 $AModule(A)$当且仅当 $M tensorProduct_A B$ 是自由 $AModule(B)$ + - 若 $A$ 是局部环且 $M$ 在 $A$ 上有限生成，则 $M$ 是自由 $AModule(A)$当且仅当 $M tensorProduct_A B$ 是自由 $AModule(B)$ ] #proof[ - $=>$ 平凡，往证 $arrow.double.l$，注意到： @@ -2312,7 +2392,7 @@ 因此 $S tensorProduct_A M$ 正合当且仅当 $(S tensorProduct_A M) tensorProduct_A B$ 正合当且仅当 $(S tensorProduct_A B) tensorProduct_B (M tensorProduct_A B)$ 正合 - 若 $M tensorProduct B$ 忠实平坦，这就等价于 $S tensorProduct_A B$ 正合，等价于 $S$ 正合，证毕 - 若 $M tensorProduct B$ 平坦且 $S$ 正合，则 $S tensorProduct_A B$ 正合进而 $(S tensorProduct_A B) tensorProduct_B (M tensorProduct_A B)$ 正合，证毕 - - 注意到 $A$ 是局部环且 $M$ 有限生成，此时自由模等价于平坦模。同时，$M tensorProduct_A B$ 当然也是有限生成 $AModule(B)$ + - 注意到 $A$ 是局部环且 $M$ 有限生成，此时自由模等价于平坦模，因此右推左成立。同时 @free-extension 给出了左推右 ] #theorem[Going-down for flat morphism][ 是 $psi: A -> B$ 是平坦同态，则下降性质对于 $psi$ 成立，也即： @@ -2344,7 +2424,7 @@ ((B -> B_q') compose phi)(A - p') = (B -> B_q')(phi(A - p')) subset (B -> B_q')(B - q') subset U(B_q') $ 故泛性质给出 $phi'$\ - - 首先，证明这个映射仍然是平坦同态。事实上，$B -> B_(q')$ 作为局部化是平坦同态，由传递性 $A -> B_q'$ 平坦，它在局部化函子下的提升 $phi'$ 当然也平坦（注意到 $Inv((A-p')) B_(q') = B_(q')$，因此 $phi'$ 确实是 $Inv((A-p')) (A -> B_q')$ + - 首先，证明这个映射仍然是平坦同态。事实上，$B -> B_(q')$ 作为局部化是平坦同态，由传递性 $A -> B_q'$ 平坦，它在局部化函子下的提升 $phi'$ 当然也平坦（注意到 $Inv((A-p')) B_(q') = B_(q')$，故 $phi'$ 就是 $Inv((A-p')) (A -> B_q')$ - 此时，双方都是局部环，进而 $phi'$ 忠实平坦，由之前的结构性定理知 $phi^*$ 是满射，进而存在 $q^* in Spec (B_q')$ lying over $p A_p'$，也即 $Inv(phi')(q^*) = p A_p$，取 $q = q^* sect B subset q'$ - 只需证明 $Inv(phi)(q) = p$，事实上交换图表给出： $ @@ -2392,7 +2472,7 @@ - 称 $M$ 是 Artin 模，如果子模族满足降链条件 ] #example[][ - - 有限阿贝尔群是 Noether/Artin 模 + - 有限阿贝尔群是 $ZZ$ 上的 Noether/Artin 模 - 唯一分解分解整环是 Noether 的 - $ZZ$ 是 Noether 但不是 Artin 的 - 设 $p$ 是素数，$G = ZZ[1/p] quo ZZ$，该 $G$ 是 Artin 模，但不是 Noether 模（作为 $ZZ$ 模） @@ -2579,7 +2659,7 @@ - 接下来，归纳证明：设 $I$ 由次数小于 $n$ 的元素生成，则 $I$ 是有限生成的 ] #theorem[weak form of Hilbert's Nullstellensatz][ - 设 $A$ 是有限生成 $A-$代数，$m$ 是极大理想，则 $A quo m$ 是 $k$ 的有限扩张\ + 设 $k$ 是域且是有限生成 $A-$代数，$m$ 是极大理想，则 $A quo m$ 是 $k$ 的有限扩张\ 等价的，如果 $E$ 是有限生成 $k-$代数，且 $E$ 是域，则它是 $k$ 的有限代数扩张 ] == 环的维数 @@ -2657,6 +2737,7 @@ $ Sigma = {product S | S subset Spec(A) "且有限"} $ + #TODO ] #proposition[][ 设 $A$ 是 Noether local 环，则下面两者有且只有一个成立： @@ -2901,7 +2982,7 @@ - 若 $A, B$ 是整环，则 $B$ 是域当且仅当 $A$ 是域 - 若 $q in Spec(B)$ 在 $p = q sect A in Spec(A)$ 之上，则有整环间的整扩张 $A quo p -> B quo q$，从而 $p$ 是极大理想当且仅当 $q$ 是极大理想 - 设 $q subset q' in Spec(B)$，若 $q sect A = q' sect A := p$，则 $q = q'$ - ] + ] #proof[ - 先证明假设 $A$ 是域，则 $B$ 也是域\ 任取 $b in B$，存在多项式使得： @@ -3001,4 +3082,187 @@ k_i in sqrt(I C) = sqrt(I A) = sqrt(I) $ 证毕 - ] \ No newline at end of file + ] + #theorem[going down][ + 设 $A subset B$ 都是整环，$B$ 在 $A$ 上整，$A$ 在其分式域中整闭。若在 $A$ 中有素理想降链： + $ + p_1 > p_2 >... > p_n + $ + 其中前一部分在 $B$ 中有对应： + $ + q_1 > q_2 > ... > q_m, m >= n + $ + 则存在 $q_(m+1) > ... > q_n$ 使得： + $ + q_i sect A = p_i, forall i = 1, 2, ..., n + $ + ] + #proof[ + 同样只需要证明 $n = 2, m = 1$ 情形\ + 经典的技巧是使用商环扩充素理想，使用分式环降低素理想。这里使用分式环。\ + 利用 @integral-prime-containing + 任取一个元素 $x in p_2 B_(q_1) sect A, x$ 将形如： + $ + x = y / s, y in p_2 B, s in B - q_1 + $ + 断言 $y in B$ 在 $p_2 subset A$ 中整，进而它的极小多项式系数落在 $sqrt(p_2) = p_2$ 中，也即其最小多项式形如： + $ + t^r + a_1 t^(r-1) + ... + a_r, a_i in p_2 + $ + 将 $y = s x$ 代入，得： + $ + s^r + b_1 s^(r-1) + ... + b_r = 0, b_i = v_i/x^r + $ + 然而再次利用上面的引理，将有 $b_i in A$，进而： + $ + x^r b_i = v_i in p_2, x^r, b_i in A + $ + 由 $p_2$ 是素理想，如果 $x in.not p_2$，则 $b_i in p_2$，进而： + $ + s^r = -b_1 s^(r-1) - ... - b_r in p_2 + $ + 故 $s in p_2$，然而之前假设 $s in B - q_1$，矛盾！ + #TODO + ] + #theorem[][ + 设 $A subset B$ 都是整环，$B$ 在 $A$ 上整，$A$ 在其分式域 $k$ 中整闭，则： + - 若存在正规扩张 $L quo k$ 使得 $B$ 是 $A$ 在 $L$ 中的整闭包，则任何两个 lying over 同一个素理想 $p$ 的 $B$ 中素理想 $q_1, q_2$ 都在 $Aut(L quo k)$ 中某个自同构下共轭 + - going down 性质成立 + ] + #proof[ + - 先不证明 + - 设 $p_1 > p_2$，先通过 going up 产生 $q_1' > q_2'$ 使得 $q_1 + sect A = q_1 sect A = p_1$，由前面的命题得它们共轭，也即： + $ + sigma(q'_1) = q_1 + $ + 如此可以证明 $sigma(q'_2) sect A = p_2$ #TODO + ] += 赋值环|Valuation ring + == 全序阿贝尔群 + #definition[][ + 称一个阿贝尔群全序，如果其上有全序且满足： + $ + r <= r' => a r <= a r' + $ + 两个全序阿贝尔群之间的同态是保持序关系的群同态 + ] + #example[][ + - $RR^+$ 在乘法和通常的序下当然是全序的 + - $RR$ 在加法和通常的序下当然是全序的。事实上通过取指数/对数，它与上面的群同构 + ] + #definition[][ + 设 $P$ 是全序阿贝尔群，$Q subset P$ 是子群，称 $Q$ 是凸的，如果以下等价条件成立对所有 $delta, delta', gamma in P$ 成立： + - $delta <= gamma <= 1 and delta in Q => gamma in Q$ + - $delta, gamma <= 1, delta gamma in Q => delta, gamma in Q$ + - $delta <= gamma <= delta', delta, delta' in Q => gamma in Q$ + ] + #proof[ + - 1 $=>$ 2 注意到 $delta gamma <= delta, gamma <= 1$，由 1 结论成立 + - 2 $=>$ 1 注意到 $gamma <=1, delta <= gamma => delta Inv(gamma) <= 1$，由 2 结论成立 + - 3 $=>$ 1 显然 + - 1 $=>$ 3 将有： + $ + delta Inv(delta') <= gamma Inv(delta') <= 1 => gamma Inv(delta') in Q => gamma in Q + $ + ] + #definition[][ + 设 $P$ 是全序阿贝尔群，定义 $ht(P)$ 为 $P$ 的除 ${1}$ 外的凸子集的个数，显然 $ht(P) >= 0$ 可能为 $infinity$ + ] + #example[][ + - $ht(RR^+) = ht(RR) = 1$ + - 任取 $H subset P$，存在一个最小的包含 $H$ 中的凸子集： + $ + {gamma in P| exists x, y in H, x <= gamma <= y} + $ + ] + #proposition[][ + - 设 $H_1, H_2$ 是两个凸子群，则必有 $H_1 subset H_2$ 或 $H_2 subset H_1$ + - 设 $phi: P -> Q$ 是全序阿贝尔群之间的同态，则 $ker phi$ 是凸子集 + - 设 $H$ 是凸子群，则商群 $P quo H$ 上也有全序结构，定义为 #TODO，并有 $ht(P) = ht(P quo H) + ht(H)$ + - $ht(P) = 0 <=> P = {1}$ + ] + #proof[ + - 否则，设 $x in H_1 - H_2, y in H_2 - H_1$，不妨设 $x, y < 1$（否则取逆）以及 $x < y < 1$\ + 然而第二式已经给出 $x, 1 in H_1$ 进而 $y in H_1$，矛盾！ + ] + #proposition[][ + 设 $P != [1]$ 是全序阿贝尔群，以下条件等价： + - $ht(P) = 1$ + - $P$ 可以嵌入 $RR^+$（或 $RR$ 加法群） + - $P$ 是阿基米德的，也即 $forall x < 1, y < 1 in P$ 均存在 $m$ 使得 $x^m < y$ + ] + #proof[ + 本门课程不会用到这些事实，不作证明 + ] + == 赋值环 + #definition[][ + 设 $A$ 是环，$P$ 是全序阿贝尔群，称一个赋值是映射： + $ + abs(dot): A -> P union {0} + $ + 并且满足： + - $abs(a + b) <= max(abs(a), abs(b))$ + - $abs(a b) = abs(a) abs(b)$ + - $abs(0) = 0, abs(1) = 1$ + 若 $A$ 是拓扑环（加法和乘法都连续且兼容），则称赋值是连续赋值，如果任意 $x in P$，都有： + $ + {abs(a) < x} "是开集" + $ + ] + #definition[][ + 称两个赋值等价，如果存在交换图表： + #align(center)[#commutative-diagram( + node((0, 0), $A$, 1), + node((0, 1), $P$, 2), + node((1, 0), $P'$, 3), + arr(1, 2, $$), + arr(3, 2, $$, bij_str), + arr(1, 3, $$),)] + ] + #proposition[][ + 设 $k$ 是域，则其上的赋值等价于一个群同态 $k^times -> P$ 结合 $v(0) = infinity$ + ] + #example[平凡赋值][ + 对于任意环 $A$ 和其中素理想 $p$ ，给出一个平凡赋值： + $ + abs(a) = cases( + 0 quad a in p, + 1 quad a in.not p + ) + $ + ] + #definition[赋值谱|valuation spectrum][ + 设 $A$ 是环，定义其赋值谱 $Spv(A)$ 为所有赋值的等价类的集合。进一步，可以定义其上的闭集族为： + $ + Spv(A)(f/s) := {v i Spv(A) | abs(f)_v <= abs(s)_v != 0} + $ + 构成拓扑空间 + ] + #proposition[][ + 任给环同态 $phi: A -> B$，诱导映射 $abs(dot): Spv(B) -> abs(dot) compose phi: Spv(A)$，它是连续映射 + ] + #remark[][ + 平凡赋值给出 $Spec(A) -> Spv(A)$ 的映射，而 $ker$ 给出 $Spv(A) -> Spec(A)$ 的映射，满足： + #align(center)[#commutative-diagram( + node((0, 0), $Spec(A)$, 1), + node((0, 1), $Spv(A)$, 2), + node((1, 0), $Spec(A)$, 3), + arr(1, 2, $$, inj_str), + arr(2, 3, $$), + arr(1, 3, $$),)] + ] + #example[p-adic][ + - $QQ$ 上的赋值一定是某个素数 $p$ 产生的平坦赋值，称为 $p-$进赋值，换言之： + $ + Spv(QQ) = Spec(ZZ) + $ + - $QQ$ 上的赋值可以限制到 $ZZ$ 上，更进一步： + $ + Spv(ZZ) = Spv(QQ) union {abs(dot)_(0, p), p "is prime"} + $ + 其中后者是 $F_p$ 上的平凡赋值 + ] + #definition[dominate][ + 设 $A subset B$ 是局部环，极大理想分别为 $m, n$，若 $n sect A = m$ 则称 $B$ 支配 $A$ + ] \ No newline at end of file diff --git "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw6.typ" "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw6.typ" index dfb9a06..11d2137 100644 --- "a/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw6.typ" +++ "b/\344\273\243\346\225\260\345\255\246\344\272\214/\344\275\234\344\270\232/hw6.typ" @@ -407,7 +407,7 @@ $ Sigma = {M'' subset M' | M'' "是有限生成子模"} $ - 条件表明它满足 Zoun 引理条件，将有极大元。设极大元为 $M''$，然而往有限生成模中扩充任何元素都还是有限生成的，因此 $M''$ 只能为 $M'$，表明 $M$ 的所有子模都有限生成 + 条件表明它将有极大元。设极大元为 $M''$，然而往有限生成模中扩充任何元素都还是有限生成的，因此 $M''$ 只能为 $M'$，表明 $M$ 的所有子模都有限生成 == 3 由熟知的同构： $ @@ -422,7 +422,7 @@ $ 而 $A x_i$ 作为 Noether 模的子模有限生成，进而 $A quo Ann(x_i)$ 作为有限 $A-$代数是 Noether 的，作为环也是，由上题结论知结果成立 - 若 $M$ 是 Artin 的，结果当然未必，例如将 $QQ$ 看作 $ZZ$ 模，前者是域自然 Artin，作为模当然也 Artin ，且没有非零零化子，但 $ZZ$ 不是 Artin 的 + 若 $M$ 是 Artin 的，结果当然未必，例如设 $p$ 是素数，则 $ZZ[1/p] quo ZZ$ 作为 $ZZ$ 模 Artin，并且没有非零零化子，但 $ZZ$ 不是 Artin 的 == 5 注意到子空间 $Y$ 中开集均形如 $A sect Y$，其中 $A$ 是 $Y$ 中开集，当然将满足升链条件。 diff --git "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" index 4272d0d..e1f20e0 100644 --- "a/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" +++ "b/\345\270\270\345\276\256\345\210\206\346\226\271\347\250\213/main.typ" @@ -1760,7 +1760,7 @@ y(x_0) = y_0 ) $ - 其中 $f$ 连续，对 $y, lambda$ 是 $C^k$ 的（$k$ 可能为无穷），且对于任意 $x_0, y_0, lambda$ 的解都存在唯一，则设 $phi(x, x_0, y_0, lambda)$ 是上述方程的解，它将是关于 $y_0, lambda$ 是 $C^k$ 的 + 其中 $f$ 连续，对 $y, lambda$ 是 $C^k$ 的（$k$ 可能为无穷），且对于任意 $x_0, y_0, lambda$ 的解都存在唯一，则设 $phi(x, x_0, y_0, lambda)$ 是上述方程的解，它将是关于 $y_0, lambda$ 是 $C^k$ 的，关于 $x, x_0$ 是 $C^1$ 的 ] #proof[ $C^1$ 刚刚已经证明，同时也可以将 $y_0$ 吸收，化为： @@ -1786,4 +1786,160 @@ ] #remark[][ 上面的定理换成关于 $y, lambda$ 解析也对，既然 Picard 序列中每一项的解析，而解析函数的一致收敛极限也是解析的 + ] + #corollary[][ + 在上面的定理中将条件换成 $f$ 对所有参数都 $C^k$，则 $phi$ 就是 $C^k$ 的 + ] + #proof[ + 此时不妨将所有系数吸收进参数，只需研究方程： + $ + cases( + der(y, x) = f(x, y, x_0, y_0, lambda), + y(0) = 0 + ) + $ + 前面已经证明关于 $x_0, y_0, lambda$ 都是 $C^k$ 的，只需考虑关于 $x$ 的，然而： + $ + partialDer(phi, x) = f(x, phi, x_0, y_0, lambda) + $ + 前面已经证明 $phi$ 是 $C^1$ 的，上式表明 $phi$ 将是 $C^2$ 的，继而归纳可得 $phi$ 是 $C^k$ 的 + ] + #corollary[解对初值和参数的光滑依赖性 最终版本][ + 在上面的定理中将条件换成 $f$ 对所有参数都 $C^(k-1)$，且对 $y, lambda$ 是 $C^k$ 的，则 $phi$ 就是 $C^k$ 的 + ] + #proof[ + 已经证明了 $k = 1$ 时情景，同时 $phi in C^(k-1)$ 也已经成立，同样可以直接看到关于 $x$ 是 $C^k$ 的，并且注意到： + $ + partialDer(phi, x) = f(x, phi, lambda)\ + partialDer(partialDer(phi, x), x_0) = partialDer(f, y) partialDer(phi, x_0) + $ + 令 $Y = partialDer(phi, x_0)$ ，将有微分方程： + $ + Y' = partialDer(f, y) Y + $ + 上式右端关于所有参数都是 $C^(k-1)$ 的，因此 $Y$ 关于 $x_0$ 也是 $C^(k-1)$，这就证明了对 $x_0$ 的可微性\ + ] + #example[][ + $ + cases( + y' = y + mu (x^2 + y^2), + y(0) = 1 + ) + $ + 试求 $partialDer(phi, mu)|_(mu = 0)$ + + 事实上，容易看出 $f$ 是解析函数，继而它的解都解析，我们直接求偏导并交换顺序： + $ + partialDer(partialDer(phi, x), mu) = partialDer(phi, mu) + (x^2 + phi^2) + 2 mu phi partialDer(phi, mu) + $ + 设 $u = partialDer(phi, mu)$，它满足微分方程： + $ + u' = u + (x^2 + phi^2) + 2 phi u mu = (1 + 2 phi mu) u+ x^2 + phi^2 + $ + 这是关于 $u$ 的一阶线性微分方程\ + 同时，注意到 $mu = 0$ 时方程是好解的，因此： + $ + phi(x, 0) = e^x + $ + 代入得： + $ + u' = u + x^2 + e^(2 x) + $ + 解出 $u(x, 0) = e^(2 x) - x - 1$ + ] += 自治系统 + 本章的内容是从理论上研究微分方程。 + == 局部变换 + #definition[自治系统][ + 自治系统是指形如： + $ + cases( + der(x, t) = f(x), + x(t_0) = x_0 + ) + $ + ] + 局部变换是希望将一个自治系统的解在局部变换为另一个常微分方程的解。 + #definition[][ + - 称 $x_0$ 是常点，如果 $f(x_0) != 0$ + - 称 $x_0$ 是奇点/平衡点，如果 $f(x_0) = 0$ + ] + #theorem[][ + 设 $U$ 是微分同胚，$x = U(y)$，将微分方程： + $ + der(x, t) = f(x) + $ + 变成 + $ + der(y, t) = g(y) + $ + 则： + $ + g(y) = Inv((U')) f(x) + $ + 这里 $U$ 指微分同胚的雅可比矩阵 + ] + #proof[ + $ + der(U y, t) = f(x)\ + U' der(y, t) = f(x)\ + U' g(y) = f(x) + $ + ] + #definition[][ + 设两个微分方程： + $ + der(x, t) = f(x)\ + der(y, t) = g(y) + $ + 之间，存在 $C^k$ 的微分同胚使得满足@local-transform ，则称两个方程 $C^k$ 等价。\ + 类似的，若在 $x_0$ 处的某个邻域存在 $C^k$ 的微分同胚使得满足@local-transform ，则称两个方程在 $x_0$ 处局部 $C^k$ 等价。 + ] + #theorem[常点的 $C^k$ 分类/拉直定理][ + 设微分方程 $der(x, t) = f(x)$ 满足 $f(0) != 0$，则方程在 $0$ 处局部 $C^k$ 等价于： + $ + der(y, t) = Y(y), Y(y) = vec(1, 0, dots.v, 0) + $ + ] + #proof[ + #let vc = $vec(1, 0, dots.v, 0)$ + 设 $f_i (x)$ 是分量，不妨设 $f_1 (0) != 0$\ + 显然第二个方程的解就是： + $ + psi = y_0 + t vc + $ + 设 $phi(t, x_0)$ 是原方程的解，令: + $ + U(0) = 0\ + U(y) = phi(y_1, 0, y_2, dots, y_(n)) + $ + 为了验证微分同胚，计算： + $ + abs(der(U, y)) = abs(partialDer(phi, t) der(y_1, y) + partialDer(phi, x_0) der((0, y_2, ..., y_n)^T, y))\ + = abs(f(phi) der(y_1, y) + partialDer(phi, x_0) der((0, y_2, ..., y_n)^T, y)) + $ + 此外，将有： + $ + U(psi(t, y)) = U(t+y_1, y_2, ..., y_n) = phi(t+y_1, 0, y_2, ..., y_n) + $ + 求导再令 $t = 0$ 可得： + $ + U'(y) Y(y) = f(phi(y_1, 0, y_2, ... y_n)) = f(U(y)) + $ + 证毕 + ] + 说明常点的局部等价分类是非常简单的，接下来我们考虑奇点处的局部等价分类 + #theorem[][ + 线性微分方程 $x' = A x, x' = B x$ 在 $0$ 处局部 $C^k$ 等价当且仅当 $A, B$ 相似 + ] + #proof[ + 任取微分同胚 $U$ 在 $0$ 处泰勒展开计算即可 + ] + 对于一般的方程，我们当然希望通过泰勒展开将其化为线性方程。然而方程 $x' = A x + o(x)$ 当然不总是与 $x' = A x$ 等价，至少我们需要 $A$ 非退化。在什么条件下可以将其化为线性方程是上个世纪常微分方程研究的重要课题之一 + #theorem[][ + 设 $f(x) = A x + o(x)$ 是 $C^infinity$ 的，而 $A$ 的特征根满足非共振条件： + $ + sum_(i = 1)^n m_i lambda_i != 0, (m_i) in ZZ^n - {0} + $ + 则方程 $x' = f(x)$ 在 $0$ 处局部 $C^infinity$ 等价于 $x' = A x$ ] \ No newline at end of file diff --git "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" index b8cc1a5..d99010d 100644 --- "a/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" +++ "b/\346\225\260\345\255\246\346\250\241\345\236\213/main.typ" @@ -1313,15 +1313,132 @@ #FFT/#IFFT 是解决上述问题的高效算法，利用了适当的分治来减少重复计算。为了方便，接下来不妨设 $n = 2^k$ #let pOdd = $p_("odd")$ #let pEven = $p_("even")$ + #let odd = $"odd"$ + #let even = $"even"$ #definition[FFT][ 快速傅里叶变换是指一个递归算法，使得： $ - FFT(X) &= (p(w^(k-1)))_k\ + FFT(X)_k &= p(w^(k-1)) := Y_k\ where p(theta) &= x_1 + x_2 theta + x_3 theta^2 + ... + x_n theta^(n-1)\ $ 计算 $p(theta)$ 时，进行奇偶分拆： $ - p(theta) = pOdd (theta) + theta pEven (theta)\ + p(theta) = pOdd (theta^2) + theta pEven (theta^2)\ $ + 将有： + $ + Y_k = pOdd (w^(2(k-1))) + w^(k-1) pEven (w^(2(k-1))) + $ + 在上式中将 $k$ 换成 $n/2$ 发现： + $ + Y_(k + n/2) = pOdd (w^(2(k-1) + n)) + w^(k-1 + 2/ n) pEven (w^(2(k-1) + n))\ + = pOdd (w^(2(k-1))) - w^(k-1) pEven (w^(2(k-1))) + $ + （注意到 $w$ 是 $n$ 次单位根）\ + 此外，由定义得对于 $k <= n/2$ + $ + Y_k &= pOdd (w^(2(k-1))) + w^(k-1) pEven (w^(2(k-1))) \ + &= FFT_(n/2)(odd(X))_k + w^(k-1) FFT_(n/2)(even(X))_k\ + where &odd(X) = (x_1, x_3, ..., x_(n-1))^T\ + &even(X) = (x_2, x_4, ..., x_n)^T + $ + 因此，分别计算 $FFT_(n/2)(odd(X)), FFT_(n/2)(even(X))$ 再按上面的公式即得 $FFT(X)$ + ] + #proposition[][ + $FFT(X)$ 的时间复杂度为 $O(n log n)$ + ] + #proof[ + 设 $n$ 阶 $FFT$ 的乘法次数为 $M_n$，加法次数为 $A_k$ ，有： + $ + M_1 = 0, A_1 = 0 + $ + 根据上面的过程，将有： + $ + M_k = 2 M_(k/2) + k/2\ + A_k = 2 A_(k/2) + k + $ + 设 $k = 2^m$ 并令 $a_m = M_(2^m), b_m = A_(2^m)$，有： + $ + a_m = 2 a_(m-1) + 2^(m-1)\ + 2^(-m) a_m = 2^(-(m-1)) a_(m-1) + 1/2\ + 2^(-m) a_m = 1/2 m => a_m = 1/2 m 2^m\ + b_m = 2 b_(m-1) + 2^m\ + 2^(-m) b_m = 2^(-(m-1)) b_(m-1) + 1\ + 2^(-m) b_m = m => b_m = m 2^m + $ + 化简得 $A_k, M_k$ 都是 $O(n log n)$ 的，证毕 ] - 本次作业下次讲完这部分之后再做 \ No newline at end of file + == 高维模型中的维度灾难 + #let kv = $bold(k)$ + #let xv = $bold(x)$ + #let toKB(x) = x/1024 + #let toMB(x) = x/1024/1024 + #let toGB(x) = x/1024/1024/1024 + #let FG = $"FG"$ + #let absMix(x) = $abs(#x)_"mix"$ + #let absMix2(x) = $abs(#x)_"mix"^2$ + 设 $xv, kv$ 是 $d$ 维向量，注意到有简单的计算式： + $ + e^(i kv^T xv) = product_(k) e^(i kv_k xv_k) + $ + 表明高维的平面波可以自然地分裂成一维平面波的乘积，也称其为张量形式。用这种形式可以进行函数逼近： + $ + u(xv) approx u_N (xv) = sum_(k in FG_N) tu_kv e^(i kv^T xv)\ + $ + 其中 $FG_N$ 是指全网格（Full grid），具体定义为： + $ + FG_N = ([-N, N] sect ZZ)^d + $ + 容易计算其中约有 $(2 N)^d$ 个网格点。即使有高效算法 $FFT$ 在维度较高的情况下计算量也是不可接受的，这是维度灾难的体现之一，例如 $d = 6, n = 100$ 时假设使用两字节的浮点数，将需要空间： + $ + 2 dot 2^6 dot 100^6 "Byte" = #(toGB(2*calc.pow(100, 6)*calc.pow(2, 6))) "GB" + $ + 同时，谱精度也会随着 $d$ 增加快速衰减，这也是十分糟糕的。 + + + 因此，我们当然需要更好的解决方法，有以下几个目标： + - 复杂度不随 $d$ 指数增长 + - 精确度不随 $d$ 快速衰减 + == 稀疏网格方法 + #let SG = $"SG"$ + 上面的两个目标当然无法轻易实现，需要很多的设计和取舍。例如一个经典的方法是所谓的*双曲截断*，考虑到系数在每个维度上衰减都十分迅速，因此应该取那些合适的格点使得每个维度都不要取过高项的系数。具体来说，取格点： + $ + SG_N = {kv | product_(j=1)^n max(kv_j, 1) := absMix(kv) <= N} + $ + 此时，近似函数所在的函数空间为： + $ + Sigma_N = "span"{ e^(i kv xv)| kv in SG_N } + $ + 我们需要解决： + - 使用该方法取格点的精度如何，有定理： + #let absKpm(x) = $abs(#x)_K_p^m$ + #let absKpm2(x) = $abs(#x)_(K_p^m)^2$ + #theorem[][ + 若： + $ + u(xv) = sum_(kv in ZZ^n) hu_kv e^(i kv^T xv) + $ + 则称 $u$ 函数有平面波展开\ + 任取 $u in K_p^m (Omega)$，有结论： + $ + inf_(v in Sigma_N) norm(u - v)_(K_p^mu) <= k N^(mu - m) absKpm(u) + $ + 其中： + - $absKpm2(sum_(kv in ZZ^n) hu_kv e^(i kv^T xv)) = sum_(kv in ZZ^n) (absMix(kv))^(2m) abs(hu_kv)^2$ + - $K_p^m (Omega) = {u(xv) | u "可被平面波展开且" absKpm(u) < infinity}$ + - $mu = 0, 1, 2, ..., m$ + ] + #proof[ + 左侧取得接近下确界的最佳估计当然是投影，也即 + $ + inf_(v in ZZ_n) norm(u - v)_(K_p^mu)^2 + &<= norm(u - sum_(kv in SG_N) hu_kv e^(i kv^T xv))_(K_p^mu)^2\ + &= norm(sum_(kv in ZZ^n - SG_N) hu_kv e^(i kv^T xv))_(K_p^mu)^2\ + &= norm(sum_(kv in ZZ^n - SG_N) hu_kv e^(i kv^T xv))_(K_p^mu)^2\ + &= sum_(kv in ZZ^n - SG_N) absMix(kv)^(2 mu) abs(hu_kv)^2\ + &= sum_(absMix(kv) > N) absMix(kv)^(2 mu) abs(hu_kv)^2\ + &< 1/N^(2 m - 2mu)sum_(absMix(kv) > N) absMix(kv)^(2m) abs(hu_kv)^2\ + &< 1/N^(2 m - 2mu) absKpm2(u) + $ + 证毕 + ] \ No newline at end of file